Упр.1193 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной $$a$$; б) прямоугольного треугольника с катетами $$a$$ и $$b$$; в) равнобедренного треугольника с основанием $$a$$ и боковой стороной $$b$$; г) прямоугольника с меньшей стороной $$a$$ и острым углом $$\alpha$$ между диагоналями; д) правильного шестиугольника, площадь которого равна $$24\sqrt{3}\ \text{см}^2$$.
- Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны: а) $$1,\ 1,\ 2$$; б) $$8,\ 9,\ 12$$; в) $$\sqrt{39},\ 7,\ 9$$.
а) В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен
$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$
Тогда длина окружности:
$$C=2\pi R=2\pi\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}.$$
б) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна
$$c=\sqrt{a^2+b^2}.$$
Центр описанной окружности — середина гипотенузы, значит
$$R=\frac{c}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$
Следовательно,
$$C=2\pi R=2\pi\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\pi\sqrt{a^2+b^2}.$$
в) Пусть высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, делит основание пополам. Тогда
$$BH=\frac{a}{2},$$
а в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$b$$ имеем
$$BH=\sqrt{b^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}.$$
Для радиуса описанной окружности получаем
$$R=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}.$$
Тогда
$$C=2\pi R=\frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}.$$
г) Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в центре описанной окружности. Если $$\angle BOD=\alpha$$, то в равнобедренном треугольнике $$AOB$$
$$\angle BOH=\frac{\alpha}{2}, \qquad BH=\frac{a}{2}.$$
Из прямоугольного треугольника $$BOH$$:
$$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{BH}{BO}=\frac{a/2}{R},$$
откуда
$$R=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.$$
Следовательно, длина окружности:
$$C=2\pi R=\frac{\pi a}{\sin\frac{\alpha}{2}}.$$
д) Площадь правильного шестиугольника выражается через радиус описанной окружности так:
$$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2.$$
Подставим $$S=24\sqrt{3}$$:
$$24\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2,$$
$$R^2=16,\qquad R=4\text{ см}.$$
Тогда
$$C=2\pi R=8\pi\text{ см}.$$
Ответ: а) $$\frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}$$; б) $$\pi\sqrt{a^2+b^2}$$; в) $$\frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}$$; г) $$\frac{\pi a}{\sin\frac{\alpha}{2}}$$; д) $$8\pi\text{ см}$$.
