Упр.1192 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Как изменится радиус окружности, если длину окружности: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в к раз? Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N и К лежат соответственно на рёбрах: a) BB1, AA1, AD; б) CC1, AD, BB1.

Подробный ответ

Длина окружности выражается формулой $$C=2\pi R,$$ откуда $$R=\frac{C}{2\pi}.$$

а) Если длину окружности увеличить в $$k$$ раз, то новая длина будет равна $$C_1=kC.$$ Тогда

$$R_1=\frac{C_1}{2\pi}=\frac{kC}{2\pi}=k\cdot \frac{C}{2\pi}=kR.$$

Значит, радиус увеличится в $$k$$ раз.

б) Если длину окружности уменьшить в $$k$$ раз, то $$C_1=\frac{C}{k}.$$ Тогда

$$R_1=\frac{C_1}{2\pi}=\frac{C}{k\cdot 2\pi}=\frac{1}{k}\cdot \frac{C}{2\pi}=\frac{R}{k}.$$

Значит, радиус уменьшится в $$k$$ раз.

Для построения сечения параллелепипеда плоскостью $$MNK$$ используем свойства параллельных прямых и плоскостей.

а) Пусть $$M\in BB_1,$$ $$N\in AA_1,$$ $$K\in AD.$$ Через точку $$M$$ проводим прямую, параллельную $$NK$$; она пересечёт ребро $$BD$$ в точке $$E$$. Соединяем точки $$M,N,K,E$$. Получаем сечение $$MNKE$$.

б) Пусть $$M\in CC_1,$$ $$N\in AD,$$ $$K\in BB_1.$$ Через точку $$N$$ проводим прямую, параллельную $$KM$$; она пересечёт ребро $$AA_1$$ в точке $$E$$. Через точку $$M$$ проводим прямую, параллельную $$KE$$; она пересечёт ребро $$CD$$ в точке $$F$$. Соединяем точки $$M,F,N,E,K$$. Получаем сечение $$MFNEK$$.