Упр.1191 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в три раза; б) уменьшить в два раза; в) увеличить в $$k$$ раз; г) уменьшить в $$k$$ раз?
2. Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки $$B_1$$, $$D_1$$ и середину ребра $$CD$$. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

Пусть радиус окружности равен $$R$$, тогда длина окружности

$$C=2\pi R.$$

Рассмотрим каждый случай.

1. Если радиус увеличить в три раза, то новый радиус $$R_1=3R$$. Тогда

   $$C_1=2\pi R_1=2\pi\cdot 3R=6\pi R.$$

   Значит, $$C_1=3C$$, то есть длина окружности увеличится в три раза.

2. Если радиус уменьшить в два раза, то $$R_1=\frac{R}{2}$$. Тогда

   $$C_1=2\pi R_1=2\pi\cdot \frac{R}{2}=\pi R.$$

   Следовательно, $$C_1=\frac{1}{2}C$$, то есть длина окружности уменьшится в два раза.

3. Если радиус увеличить в $$k$$ раз, то $$R_1=kR$$. Тогда

   $$C_1=2\pi R_1=2\pi\cdot kR=2k\pi R.$$

   Значит, $$C_1=kC$$, то есть длина окружности увеличится в $$k$$ раз.

4. Если радиус уменьшить в $$k$$ раз, то $$R_1=\frac{R}{k}$$. Тогда

   $$C_1=2\pi R_1=2\pi\cdot \frac{R}{k}=\frac{2\pi R}{k}.$$

   Следовательно, $$C_1=\frac{1}{k}C$$, то есть длина окружности уменьшится в $$k$$ раз.

Ответ: а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 2 раза; в) увеличится в $$k$$ раз; г) уменьшится в $$k$$ раз.