Упр.1191 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в три раза; б) уменьшить в два раза; в) увеличить в k раз; г) уменьшить в k раз? Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

$$C=2\pi R.$$

а) Если радиус увеличить в три раза, то

$$R_1=3R,\qquad C_1=2\pi\cdot 3R=6\pi R.$$

Тогда

$$\frac{C_1}{C}=\frac{6\pi R}{2\pi R}=3,$$

то есть длина окружности увеличится в три раза.

б) Если радиус уменьшить в два раза, то

$$R_1=\frac{R}{2},\qquad C_1=2\pi\cdot \frac{R}{2}=\pi R.$$

Тогда

$$\frac{C_1}{C}=\frac{\pi R}{2\pi R}=\frac{1}{2},$$

то есть длина окружности уменьшится в два раза.

в) Если радиус увеличить в $$k$$ раз, то

$$R_1=kR,\qquad C_1=2\pi\cdot kR=2k\pi R.$$

Тогда

$$\frac{C_1}{C}=\frac{2k\pi R}{2\pi R}=k,$$

то есть длина окружности увеличится в $$k$$ раз.

г) Если радиус уменьшить в $$k$$ раз, то

$$R_1=\frac{R}{k},\qquad C_1=2\pi\cdot \frac{R}{k}=\frac{2\pi R}{k}.$$

Тогда

$$\frac{C_1}{C}=\frac{2\pi R/k}{2\pi R}=\frac{1}{k},$$

то есть длина окружности уменьшится в $$k$$ раз.

Пусть $$M$$ — середина ребра $$CD$$ параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Проведём через точку $$M$$ прямую, параллельную $$B_1D_1$$, и обозначим её пересечение с ребром $$BC$$ точкой $$E$$. Соединим точки $$B_1, D_1, M, E$$.

Докажем, что $$B_1D_1EM$$ — трапеция.

Так как $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — параллелепипед, то грани $$ABC$$ и $$A_1B_1D_1$$ параллельны, следовательно, прямая $$EM$$, лежащая в плоскости сечения, параллельна прямой $$B_1D_1$$.

Кроме того, точки $$B_1$$ и $$E$$ лежат в одной боковой грани $$BCC_1B_1$$, а точки $$D_1$$ и $$M$$ — в грани $$DCC_1D_1$$. Поэтому отрезки $$B_1E$$ и $$D_1M$$ являются сторонами сечения.

Итак, в четырёхугольнике $$B_1D_1EM$$ одна пара противоположных сторон параллельна:

$$EM \parallel B_1D_1.$$

Следовательно, $$B_1D_1EM$$ — трапеция.

Ответ: а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 2 раза; в) увеличится в $$k$$ раз; г) уменьшится в $$k$$ раз. Сечение параллелепипеда — трапеция $$B_1D_1EM$$.