Упр.119 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны. В В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK = 16 см отрезок EF — биссектриса, уголDEF= 43°. Найдите KF, уголDEK, уголEFD.

Подробный ответ

а) Пусть в равных треугольниках $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ проведены медианы $$BM$$ и $$B_1M_1$$ к равным сторонам $$AC$$ и $$A_1C_1$$.

Так как треугольники равны, то

$$AB=A_1B_1,\quad \angle A=\angle A_1,\quad AC=A_1C_1.$$

Поскольку $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы, имеем

$$AM=\frac{AC}{2},\qquad A_1M_1=\frac{A_1C_1}{2}.$$

Из равенства $$AC=A_1C_1$$ следует, что

$$AM=A_1M_1.$$

Тогда треугольники $$\triangle ABM$$ и $$\triangle A_1B_1M_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними, значит, соответствующие медианы равны:

$$BM=B_1M_1.$$

б) В равнобедренном треугольнике $$DEK$$ с основанием $$DK$$ отрезок $$EF$$ — биссектриса угла при вершине $$E$$. Тогда в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является одновременно медианой и высотой.

Следовательно, $$F$$ — середина основания $$DK$$, а значит

$$DF=FK=\frac{DK}{2}=\frac{16}{2}=8\text{ см}.$$

Так как $$EF$$ — биссектриса, то

$$\angle DEF=\angle FEK=43^\circ.$$

Тогда весь угол при вершине:

$$\angle DEK=\angle DEF+\angle FEK=43^\circ+43^\circ=86^\circ.$$

Поскольку $$EF$$ — высота, то

$$\angle EFD=90^\circ.$$