Упр.1188 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Правильный восьмиугольник $$A_1A_2\ldots A_8$$ вписан в окружность радиуса $$R$$. Докажите, что четырёхугольник $$A_3A_4A_7A_8$$ является прямоугольником, и выразите его площадь через $$R$$.
2. На трёх рёбрах параллелепипеда даны точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.

Так как $$A_1A_2A_3\dots A_8$$ — правильный восьмиугольник, то центральный угол между соседними вершинами равен

$$\angle A_1OA_2=\angle A_2OA_3=\dots=\angle A_8OA_1=\frac{360^\circ}{8}=45^\circ.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$A_3A_4A_7A_8.$$

Диагональ $$A_3A_7$$ проходит через центр окружности, значит это диаметр, поэтому

$$A_3A_7=2R.$$

Аналогично, $$A_4A_8$$ тоже диаметр, следовательно

$$A_4A_8=2R.$$

Кроме того, дуга $$A_8A_7$$ соответствует одному центральному углу, значит

$$\angle A_8OA_7=45^\circ.$$

Тогда угол между диагоналями четырёхугольника равен $$45^\circ$$, а его стороны лежат на хордах, соединяющих вершины правильного восьмиугольника. При этом противоположные стороны $$A_3A_4$$ и $$A_8A_7$$, $$A_4A_7$$ и $$A_3A_8$$ параллельны, а диагонали равны и пересекаются в середине. Следовательно, $$A_3A_4A_7A_8$$ — прямоугольник.

Найдём его площадь. Она равна произведению двух смежных сторон:

$$S=A_3A_4\cdot A_4A_7.$$

Сторона правильного восьмиугольника — хорда, стягивающая угол $$45^\circ$$, поэтому

$$A_3A_4=A_4A_7=2R\sin\frac{45^\circ}{2}=2R\sin 22{,}5^\circ.$$

Удобнее воспользоваться формулой площади через диагонали и угол между ними:

$$S=\frac12\cdot A_3A_7\cdot A_4A_8\cdot \sin 45^\circ.$$

Подставим:

$$S=\frac12\cdot 2R\cdot 2R\cdot \frac{\sqrt2}{2} =R^2\sqrt2.$$

Ответ: $$S=R^2\sqrt2.$$