Упр.1187 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.
2. Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань — прямоугольник; б) только две смежные грани — ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней?

Пусть $$a$$ — сторона правильного треугольника, $$P$$ — его периметр, $$S$$ — площадь, $$r$$ — радиус вписанной окружности, $$R$$ — радиус описанной окружности.

а) Через радиус вписанной окружности

Для правильного треугольника

$$r=R\cos 60^\circ=\frac{R}{2},$$

значит, $$R=2r$$.

Сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности так:

$$a=2R\sin 60^\circ=2\cdot 2r\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\,r.$$

Тогда периметр:

$$P=3a=3\cdot 2\sqrt{3}\,r=6\sqrt{3}\,r.$$

Площадь найдём по формуле $$S=\frac12Pr$$:

$$S=\frac12\cdot 6\sqrt{3}\,r\cdot r=3\sqrt{3}\,r^2.$$

б) Через радиус описанной окружности

Сторона:

$$a=2R\sin 60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\,R.$$

Периметр:

$$P=3a=3\sqrt{3}\,R.$$

Площадь:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 3\sqrt{3}\,R\cdot \frac{R}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2.$$

Ответ: а) $$a=2\sqrt{3}\,r,\; P=6\sqrt{3}\,r,\; S=3\sqrt{3}\,r^2$$; б) $$a=\sqrt{3}\,R,\; P=3\sqrt{3}\,R,\; S=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2.$$