Упр.1186 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.
- Задание учебника 2023 года. Докажите, что площадь боковой поверхности прямой призмы (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна произведению периметра основания на боковое ребро.
Пусть $$r$$ — радиус окружности, а $$R$$ — радиус описанной около правильного шестиугольника окружности.
Для правильного шестиугольника, описанного около окружности, апофема равна радиусу окружности, то есть $$r=R\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}R.$$
Тогда
$$R=\frac{2r}{\sqrt{3}}.$$
Сторона такого шестиугольника равна
$$a=2R\sin 30^\circ=R=\frac{2r}{\sqrt{3}}.$$
Его периметр:
$$P_1=6a=6\cdot \frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{12r}{\sqrt{3}}.$$
Площадь описанного шестиугольника:
$$S_1=\frac{1}{2}P_1r=\frac{1}{2}\cdot \frac{12r}{\sqrt{3}}\cdot r=2\sqrt{3}\,r^2.$$
Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона равна радиусу окружности:
$$a=r.$$
Тогда его периметр:
$$P_2=6r.$$
Площадь вписанного шестиугольника:
$$S_2=\frac{1}{2}P_2r=\frac{1}{2}\cdot 6r\cdot r=3r^2\sqrt{3}.$$
Найдём отношение площадей:
$$S_1:S_2=2\sqrt{3}\,r^2:3\sqrt{3}\,r^2=2:3.$$
Ответ: $$2:3$$.
