Упр.1186 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё. Докажите, что площадь боковой поверхности прямой призмы (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна произведению периметра основания на боковое ребро.

Подробный ответ

Пусть $$r$$ — радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, а $$R$$ — радиус окружности, описанной около него.

1. Описанный правильный шестиугольник.

Для правильного шестиугольника

$$r=R\cos 30^\circ=R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2},$$

откуда

$$R=\frac{2r}{\sqrt{3}}.$$

Сторона описанного шестиугольника равна

$$a=2R\sin 30^\circ=2\cdot \frac{2r}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2r}{\sqrt{3}}.$$

Тогда его периметр

$$P=6a=6\cdot \frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{12r}{\sqrt{3}}.$$

Площадь описанного шестиугольника:

$$S_A=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}\cdot \frac{12r}{\sqrt{3}}\cdot r=2\sqrt{3}\,r^2.$$

2. Вписанный правильный шестиугольник.

Здесь $$R=r$$, так как окружность является описанной около шестиугольника.

Сторона вписанного шестиугольника:

$$a=2R\sin 30^\circ=2r\cdot \frac{1}{2}=r.$$

Апофема (радиус вписанной окружности) равна

$$r_1=R\cos 30^\circ=r\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Периметр:

$$P=6r.$$

Площадь вписанного шестиугольника:

$$S_B=\frac{1}{2}Pr_1=\frac{1}{2}\cdot 6r\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2.$$

3. Отношение площадей.

$$\frac{S_A}{S_B}=\frac{2\sqrt{3}\,r^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2}=\frac{4}{3}.$$

Значит,

$$S_A:S_B=4:3.$$

4. Площадь боковой поверхности прямой призмы.

Пусть основание призмы — многоугольник со сторонами $$a_1,a_2,\dots,a_n$$, а боковое ребро равно $$H$$. У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основанию, значит каждая боковая грань — прямоугольник со сторонами $$a_i$$ и $$H$$.

Тогда площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней:

$$S_{\text{бок}}=a_1H+a_2H+\cdots+a_nH=(a_1+a_2+\cdots+a_n)H.$$

Но $$a_1+a_2+\cdots+a_n=P_{\text{осн}}$$ — периметр основания, поэтому

$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot H.$$

Что и требовалось доказать.