Упр.1185 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.
2. Докажите, что число вершин любой призмы чётно, а число рёбер кратно 3.

Пусть стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны $$a$$.

Площадь правильного многоугольника выражается через периметр $$P$$ и апофему $$r$$ формулой

$$S=\frac12Pr.$$

Для правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$ имеем:

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{n},$$

где $$R$$ — радиус описанной окружности.

1) Правильный треугольник

$$n=3,\qquad a=2R\sin60^\circ=R\sqrt3,$$

откуда

$$R=\frac{a}{\sqrt3}.$$

Апофема:

$$r=R\cos60^\circ=\frac{a}{\sqrt3}\cdot\frac12=\frac{a\sqrt3}{6}.$$

Тогда

$$S_3=\frac12\cdot 3a\cdot \frac{a\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{4}a^2.$$

2) Квадрат

$$n=4,\qquad a=2R\sin45^\circ=R\sqrt2,$$

значит

$$R=\frac{a}{\sqrt2}.$$

Апофема:

$$r=R\cos45^\circ=\frac{a}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{a}{2}.$$

Тогда

$$S_4=\frac12\cdot 4a\cdot \frac{a}{2}=a^2.$$

3) Правильный шестиугольник

$$n=6,\qquad a=2R\sin30^\circ=R,$$

то есть

$$R=a.$$

Апофема:

$$r=R\cos30^\circ=a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$S_6=\frac12\cdot 6a\cdot \frac{a\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$

Следовательно,

$$S_3:S_4:S_6=\frac{\sqrt3}{4}a^2:a^2:\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$

Умножим все части на $$4$$:

$$S_3:S_4:S_6=\sqrt3:4:6\sqrt3.$$

Ответ

$$S_3:S_4:S_6=\sqrt3:4:6\sqrt3.$$