Упр.1184 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания.
2. Сколько граней, рёбер и вершин имеет: а) прямоугольный параллелепипед; б) тетраэдр; в) октаэдр?

Для правильного шестиугольника расстояние между параллельными гранями равно удвоенному апофеме, то есть

$$r=\frac{1{,}5}{2}=0{,}75\text{ см}.$$

Для правильного шестиугольника

$$r=R\cos 30^\circ,$$

где $$R$$ — радиус описанной окружности. Тогда

$$0{,}75=R\cdot \frac{\sqrt3}{2},$$

откуда

$$R=\frac{1{,}5}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, значит

$$a=R=\frac{1{,}5}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2}\text{ см}.$$

Площадь правильного шестиугольника:

$$S=6\cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Подставим $$a=\frac{\sqrt3}{2}$$:

$$S=6\cdot \frac{\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\sqrt3}{4} =6\cdot \frac{\frac34\sqrt3}{4} =\frac{9\sqrt3}{8}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$\frac{9\sqrt3}{8}\text{ см}^2$$.