Упр.1183 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите площадь S правильного га-угольника, если: а) n = 4, R = 3корень2 см; б) n= 3, Р = 24 см; в) n = 6,r=9см; г) n = 8, г = 5корень3 см. Даны параллельные прямые b и с и точка А, не лежащая ни на одной из них. Постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы вершины В и С лежали соответственно на прямых b и с. Сколько решений имеет задача?

а) Для правильного $$4$$-угольника $$a=2R\sin\frac{180^\circ}{4}$$, значит

$$a=2\cdot 3\sqrt2\cdot \sin45^\circ=2\cdot 3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=6\text{ см}.$$

Тогда периметр

$$P=4a=4\cdot 6=24\text{ см}.$$

Апофема равна

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{4}=3\sqrt2\cdot \cos45^\circ=3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=3\text{ см}.$$

Площадь:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 24\cdot 3=36\text{ см}^2.$$

б) Для правильного треугольника $$P=3a$$, значит

$$a=\frac{P}{3}=\frac{24}{3}=8\text{ см}.$$

У правильного треугольника $$a=2R\sin60^\circ$$, поэтому

$$8=2R\cdot \frac{\sqrt3}{2},\qquad 8=R\sqrt3,\qquad R=\frac{8}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Тогда

$$r=R\cos60^\circ=\frac{8}{\sqrt3}\cdot \frac12=\frac{4}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Площадь:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 24\cdot \frac{4}{\sqrt3}=\frac{48}{\sqrt3}=16\sqrt3\text{ см}^2.$$

в) Для правильного шестигранника

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{6}=R\cos30^\circ.$$

Так как $$r=9\text{ см}$$, то

$$9=R\cdot \frac{\sqrt3}{2},\qquad R=\frac{18}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Сторона правильного шестигранника равна радиусу описанной окружности, значит

$$a=R=\frac{18}{\sqrt3}=6\sqrt3\text{ см}.$$

Периметр:

$$P=6a=6\cdot 6\sqrt3=36\sqrt3\text{ см}.$$

Площадь:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 36\sqrt3\cdot 9=162\sqrt3\text{ см}^2.$$

г) Для правильного восьмиугольника

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{8}=R\cos22^\circ30′.$$

При $$r=5\sqrt3\text{ см}$$ получаем

$$R=\frac{5\sqrt3}{\cos22^\circ30′}.$$

Сторона

$$a=2R\sin22^\circ30′ = 2\cdot \frac{5\sqrt3}{\cos22^\circ30′}\sin22^\circ30′ = 10\sqrt3\tan22^\circ30′.$$

Тогда периметр

$$P=8a=80\sqrt3\tan22^\circ30′.$$

Используя $$\tan22^\circ30’\approx 0{,}4142$$, получаем

$$P\approx 80\sqrt3\cdot 0{,}4142\approx 33{,}136\sqrt3.$$

Площадь:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 33{,}136\sqrt3\cdot 5\sqrt3\approx 248{,}52\text{ см}^2.$$

Построение. Так как $$b\parallel c$$, то равносторонний треугольник с вершиной $$A$$ и вершинами $$B\in b$$, $$C\in c$$ можно построить двумя способами: по одну и по другую сторону от точки $$A$$. В каждом случае достаточно провести окружность с центром в $$A$$ и радиусом $$AB=AC$$ и выбрать точки пересечения с прямыми $$b$$ и $$c$$.

Ответ

а) $$36\text{ см}^2$$; б) $$16\sqrt3\text{ см}^2$$; в) $$162\sqrt3\text{ см}^2$$; г) $$248{,}52\text{ см}^2$$; задача на построение имеет $$2$$ решения.