Упр.1183 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь $$S$$ правильного $$n$$-угольника, если:
   а) $$n=4$$, $$R=3\sqrt{2}\text{ см}$$;
   б) $$n=3$$, $$P=24\text{ см}$$;
   в) $$n=6$$, $$r=9\text{ см}$$;
   г) $$n=8$$, $$r=5\sqrt{3}\text{ см}$$.
2. Даны параллельные прямые $$b$$ и $$c$$ и точка $$A$$, не лежащая ни на одной из них. Постройте равносторонний треугольник $$ABC$$ так, чтобы вершины $$B$$ и $$C$$ лежали соответственно на прямых $$b$$ и $$c$$. Сколько решений имеет задача?

Для правильного $$n$$-угольника используем формулы:

$$P=na,\qquad S=\frac12Pr,$$

где $$a$$ — сторона, $$P$$ — периметр, $$r$$ — радиус вписанной окружности, $$R$$ — радиус описанной окружности.

а) $$n=4,\ R=3\sqrt2\text{ см}$$

У правильного четырёхугольника

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{4}=2\cdot 3\sqrt2\cdot \sin45^\circ=2\cdot 3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=6\text{ см}.$$

Тогда

$$P=4a=4\cdot 6=24\text{ см}.$$

Найдём радиус вписанной окружности:

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{4}=3\sqrt2\cdot \cos45^\circ=3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=3\text{ см}.$$

Следовательно,

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 24\cdot 3=36\text{ см}^2.$$

б) $$n=3,\ P=24\text{ см}$$

Периметр равностороннего треугольника:

$$P=3a \Rightarrow a=\frac{P}{3}=\frac{24}{3}=8\text{ см}.$$

Площадь равностороннего треугольника:

$$S=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{8^2\sqrt3}{4}=16\sqrt3\text{ см}^2.$$

в) $$n=6,\ r=9\text{ см}$$

Для правильного шестиугольника

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{6}=R\cos30^\circ=R\cdot \frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$9=R\cdot \frac{\sqrt3}{2}\Rightarrow R=\frac{18}{\sqrt3}=6\sqrt3\text{ см}.$$

Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности:

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{6}=2\cdot 6\sqrt3\cdot \sin30^\circ=6\sqrt3\text{ см}.$$

Тогда

$$P=6a=6\cdot 6\sqrt3=36\sqrt3\text{ см},$$

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 36\sqrt3\cdot 9=162\sqrt3\text{ см}^2.$$

г) $$n=8,\ r=5\sqrt3\text{ см}$$

Для правильного восьмиугольника

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{8}=R\cos22^\circ30′.$$

Тогда

$$R=\frac{5\sqrt3}{\cos22^\circ30′}.$$

Сторона:

$$a=2R\sin22^\circ30′ = 2\cdot \frac{5\sqrt3}{\cos22^\circ30′}\sin22^\circ30′ = 10\sqrt3\tan22^\circ30′.$$

Периметр:

$$P=8a=80\sqrt3\tan22^\circ30′.$$

Площадь:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 80\sqrt3\tan22^\circ30’\cdot 5\sqrt3=600\tan22^\circ30′.$$

Так как $$\tan22^\circ30’\approx 0{,}4142,$$ получаем

$$S\approx 600\cdot 0{,}4142=248{,}52\text{ см}^2.$$

Ответ

а) $$36\text{ см}^2$$; б) $$16\sqrt3\text{ см}^2$$; в) $$162\sqrt3\text{ см}^2$$; г) $$248{,}52\text{ см}^2$$.