Упр.1180 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной $$6\text{ см}$$. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска.
- Задание учебника 2023 года. В окружность с центром $$O$$ вписаны два равносторонних треугольника $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, причём вершины обозначены так, что направление обхода по дуге $$ABC$$ от точки $$A$$ к точке $$C$$ совпадает с направлением обхода по дуге $$A_1B_1C_1$$ от точки $$A_1$$ к точке $$C_1$$. Используя поворот вокруг точки $$O$$, докажите, что прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ либо проходят через точку $$O$$, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.
Рассмотрим поворот вокруг точки $$O$$ на $$120^\circ$$. При таком повороте вершина $$A$$ переходит в $$B$$, вершина $$B$$ — в $$C$$, а вершина $$C$$ — в $$A$$.
Так как треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равносторонние и вписаны в одну и ту же окружность, то при этом же повороте точка $$A_1$$ переходит в $$B_1$$, точка $$B_1$$ — в $$C_1$$, а точка $$C_1$$ — в $$A_1$$. Значит, прямая $$AA_1$$ переходит в прямую $$BB_1$$, прямая $$BB_1$$ — в прямую $$CC_1$$, а прямая $$CC_1$$ — в прямую $$AA_1$$.
Если прямая $$AA_1$$ проходит через центр $$O$$, то и прямые $$BB_1$$, $$CC_1$$ также проходят через точку $$O$$.
Если же прямая $$AA_1$$ не проходит через точку $$O$$, то и прямые $$BB_1$$ и $$CC_1$$ не проходят через $$O$$. Тогда при пересечении прямых $$AA_1$$ и $$BB_1$$ угол между ними равен $$60^\circ$$, так как поворот на $$120^\circ$$ переводит одну прямую в другую. Аналогично, угол между $$BB_1$$ и $$CC_1$$ равен $$60^\circ$$, и между $$CC_1$$ и $$AA_1$$ тоже $$60^\circ$$.
Следовательно, если прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются, то они образуют равносторонний треугольник.
Ответ: прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ либо проходят через точку $$O$$, либо при пересечении образуют равносторонний треугольник.
