Упр.118 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$M$$ и $$P$$ лежат по одну сторону от прямой $$b$$. Перпендикуляры $$MN$$ и $$PQ$$, проведённые к прямой $$b$$, равны. Точка $$O$$ — середина отрезка $$NQ$$. а) Докажите, что $$\angle OMP=\angle OPM$$; б) найдите $$\angle NOM$$, если $$\angle MOP=105^\circ$$.
- На основании $$BC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ отмечены точки $$M$$ и $$N$$ так, что $$BM=CN$$. Докажите, что: а) $$\triangle BAM=\triangle CAN$$; б) треугольник $$AMN$$ равнобедренный.
Рассмотрим треугольники $$MNO$$ и $$PQO$$.
Так как $$MN \perp b$$ и $$PQ \perp b$$, то
$$\angle MNO=\angle PQO=90^\circ.$$
По условию $$MN=PQ$$, а точка $$O$$ — середина отрезка $$NQ$$, значит
$$NO=OQ.$$
Следовательно, $$\triangle MNO \cong \triangle PQO$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$MO=OP.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$OMP$$. В нём $$MO=OP$$, значит он равнобедренный, поэтому
$$\angle OMP=\angle OPM.$$
Найдём угол $$\angle NOM$$. Так как точки $$N, O, Q$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle MON$$ и $$\angle MOQ$$ смежные, а из равенства треугольников $$MNO$$ и $$PQO$$ получаем
$$\angle MON=\angle POQ.$$
В треугольнике $$MOP$$:
$$\angle OMP+\angle MOP+\angle OPM=180^\circ.$$
Так как $$\angle OMP=\angle OPM$$ и $$\angle MOP=105^\circ$$, то
$$2\angle OMP+105^\circ=180^\circ,$$
$$2\angle OMP=75^\circ,$$
$$\angle OMP=37^\circ30′.$$
Тогда
$$\angle NOM=37^\circ30′.$$
Ответ: $$\angle OMP=\angle OPM$$, $$\angle NOM=37^\circ30′.$$
