Упр.1177 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На рисунке 311, б изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а₃ — сторона треугольника, $$P$$ — периметр треугольника, $$S$$ — его площадь, $$r$$ — радиус вписанной окружности).
Медианы $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Точки $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$ являются соответственно серединами отрезков $$AM$$, $$BM$$ и $$CM$$. Докажите, что треугольник $$A_1B_1C_1$$ = треугольник $$A_2B_2C_2$$.

Подробный ответ

Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$R$$, верны формулы:

$$a=R\sqrt{3}, \qquad r=\frac{R\sqrt{3}}{6}, \qquad P=3a, \qquad S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Заполним таблицу.

$$R=3$$
$$a=3\sqrt{3}, \qquad r=\frac{3\sqrt{3}}{6}=1{,}5,$$
$$P=3\cdot 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}, \qquad S=\frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{4}.$$
$$S=10$$
$$a=\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{40}{\sqrt{3}}}=2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}},$$
$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{3}\sqrt{10\sqrt{3}}, \qquad r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{3}\sqrt{10\sqrt{3}},$$
$$P=3a=6\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}.$$
$$r=2$$
$$a=\frac{6r}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}, \qquad R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=4,$$
$$P=3a=12\sqrt{3}, \qquad S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}.$$
$$a=5$$
$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}, \qquad r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{6},$$
$$P=3a=15, \qquad S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}.$$
$$P=6$$
$$a=\frac{P}{3}=2, \qquad R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}, \qquad r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},$$
$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}.$$

Итак, в таблице получаем:

N	$$R$$	$$r$$	$$a_3$$	$$P$$	$$S$$
1	$$3$$	$$1{,}5$$	$$3\sqrt{3}$$	$$9\sqrt{3}$$	$$\frac{27\sqrt{3}}{4}$$
2	$$\frac{2}{3}\sqrt{10\sqrt{3}}$$	$$\frac{1}{3}\sqrt{10\sqrt{3}}$$	$$2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$$	$$6\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$$	$$10$$
3	$$4$$	$$2$$	$$4\sqrt{3}$$	$$12\sqrt{3}$$	$$12\sqrt{3}$$
4	$$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$	$$\frac{5\sqrt{3}}{6}$$	$$5$$	$$15$$	$$\frac{25\sqrt{3}}{4}$$
5	$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$	$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$	$$2$$	$$6$$	$$\sqrt{3}$$