Упр.1176 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На рисунке 311, а изображён квадрат, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки Даны острый угол ABC и точка D внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие точки Е и F, чтобы треугольник DEF имел наименьший периметр.

Подробный ответ

Построим точку $$D_1$$, симметричную точке $$D$$ относительно стороны $$BA$$, и точку $$D_2$$, симметричную точке $$D$$ относительно стороны $$BC$$.

Тогда для любой точки $$E \in BA$$ выполняется $$ED=ED_1$$, а для любой точки $$F \in BC$$ выполняется $$FD=FD_2$$.

Следовательно, периметр треугольника $$DEF$$ равен

$$P_{DEF}=DE+EF+FD=ED_1+EF+FD_2.$$

Рассмотрим ломаную $$D_1EFD_2$$. По неравенству треугольника

$$D_1E+EF+FD_2 \ge D_1D_2,$$

и равенство достигается тогда и только тогда, когда точки $$D_1, E, F, D_2$$ лежат на одной прямой.

Значит, наименьший периметр будет у того треугольника $$DEF$$, для которого точки $$E$$ и $$F$$ — это точки пересечения сторон угла с прямой $$D_1D_2$$:

$$E=D_1D_2 \cap BA,\qquad F=D_1D_2 \cap BC.$$

Итак, нужно провести прямую через точки $$D_1$$ и $$D_2$$; её пересечения со сторонами угла и будут искомыми точками $$E$$ и $$F$$.