Упр.1176 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 311, а изображён квадрат, вписанный в окружность радиуса $$R$$. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки.
2. Даны острый угол $$ABC$$ и точка $$D$$ внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие точки $$E$$ и $$F$$, чтобы треугольник $$DEF$$ имел наименьший периметр.

Пусть $$D_1$$ — точка, симметричная точке $$D$$ относительно стороны $$BA$$, а $$D_2$$ — точка, симметричная точке $$D$$ относительно стороны $$BC$$.

Тогда для любой точки $$E \in BA$$ имеем $$ED=ED_1$$, а для любой точки $$F \in BC$$ имеем $$FD=FD_2$$. Поэтому

$$P_{\triangle DEF}=DE+EF+FD=ED_1+EF+FD_2.$$

Рассмотрим ломаную $$D_1EF D_2$$. Её длина равна периметру треугольника $$DEF$$. Наименьшая длина ломаной между точками $$D_1$$ и $$D_2$$ достигается, когда она является отрезком. Значит, нужно выбрать точки $$E$$ и $$F$$ так, чтобы точки $$D_1, E, F, D_2$$ лежали на одной прямой, а именно:

$$E= D_1D_2 \cap BA,\qquad F= D_1D_2 \cap BC.$$

Тогда $$P_{\triangle DEF}$$ будет наименьшим.

Итак, искомые точки $$E$$ и $$F$$ — это точки пересечения сторон угла $$ABC$$ с прямой, соединяющей точки, симметричные точке $$D$$ относительно этих сторон.