Упр.1175 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.
Даны прямая $$a$$ и точки $$M$$ и $$N$$, лежащие по одну сторону от неё. Докажите, что на прямой $$a$$ существует единственная точка $$X$$, такая, что сумма расстояний $$MX+XN$$ имеет наименьшее значение.

Подробный ответ

Пусть точка $$N_1$$ симметрична точке $$N$$ относительно прямой $$a$$. Тогда для любой точки $$X \in a$$ отрезки $$XN$$ и $$XN_1$$ равны, значит

$$MX+XN=MX+XN_1.$$

Теперь рассмотрим ломаную $$MXN_1$$. По неравенству треугольника

$$MX+XN_1 \ge MN_1,$$

и равенство достигается тогда и только тогда, когда точки $$M$$, $$X$$, $$N_1$$ лежат на одной прямой, причём $$X$$ находится между $$M$$ и $$N_1$$.

Следовательно, сумма $$MX+XN$$ принимает наименьшее значение именно в той точке $$X$$, где прямая $$MN_1$$ пересекает прямую $$a$$. Такая точка единственна, так как две прямые пересекаются не более чем в одной точке.

Итак, на прямой $$a$$ существует единственная точка $$X$$, для которой сумма расстояний $$MX+XN$$ наименьшая.

Ответ

Такая точка существует и единственна: это точка пересечения прямой $$a$$ с прямой, проходящей через $$M$$ и точку $$N_1$$, симметричную $$N$$ относительно $$a$$.