Упр.1175 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают Даны прямая а и точки М и N, лежащие по одну сторону от неё. Докажите, что на прямой а существует единственная точка X, такая, что сумма расстояний MX + XN имеет наименьшее значение.

Пусть точка $$N_1$$ симметрична точке $$N$$ относительно прямой $$a$$. Тогда для любой точки $$X \in a$$ отрезки $$XN$$ и $$XN_1$$ равны, так как точки $$N$$ и $$N_1$$ симметричны относительно прямой $$a$$.

Следовательно,

$$MX+XN=MX+XN_1.$$

Теперь рассмотрим ломаную $$MXN_1$$. По неравенству треугольника для любых точек $$X$$ имеем

$$MX+XN_1 \ge MN_1,$$

и равенство достигается тогда и только тогда, когда точки $$M, X, N_1$$ лежат на одной прямой, причём $$X$$ находится на отрезке $$MN_1$$.

Значит, сумма $$MX+XN$$ принимает наименьшее значение только в том случае, когда точка $$X$$ является точкой пересечения прямой $$a$$ с прямой $$MN_1$$.

Такая точка существует и единственна, так как прямая $$MN_1$$ не совпадает с прямой $$a$$ и пересекает её в одной точке.

Ответ

Существует единственная точка $$X \in a$$, для которой сумма $$MX+XN$$ наименьшая; это точка пересечения прямой $$a$$ с прямой, соединяющей $$M$$ и точку $$N_1$$, симметричную $$N$$ относительно $$a$$.