Упр.1171 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Чему равна сумма внешних углов правильного $$n$$-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу?
2. Постройте прямую $$a_1$$, которая получается из данной прямой $$a$$ поворотом вокруг точки $$O$$ на угол $$60^\circ$$ по часовой стрелке, если прямая $$a$$: а) не проходит через точку $$O$$; б) проходит через точку $$O$$.

В правильном $$n$$-угольнике все внутренние углы равны, а каждый внешний угол смежен с внутренним. Поэтому

$$\alpha=\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ,$$
$$\beta=180^\circ-\alpha=180^\circ-\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ.$$

Упростим:

$$\beta=180^\circ\left(1-\frac{n-2}{n}\right)=180^\circ\cdot \frac{2}{n}=\frac{360^\circ}{n}.$$

Так как при каждой вершине взято по одному внешнему углу, то их сумма равна

$$n\cdot \beta=n\cdot \frac{360^\circ}{n}=360^\circ.$$

Ответ: $$360^\circ$$.