Упр.1169 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что любой правильный четырёхугольник является квадратом.
2. Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол $$90^\circ$$ квадрат отображается на себя.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей квадрата $$ABCD$$. Тогда $$O$$ является центром квадрата, а значит, и центром описанной около него окружности.

При повороте вокруг точки $$O$$ на $$90^\circ$$ каждая вершина квадрата переходит в соседнюю вершину: $$A \to B$$, $$B \to C$$, $$C \to D$$, $$D \to A$$. Действительно, все вершины квадрата лежат на одной окружности с центром в $$O$$, а квадрат делит эту окружность на четыре равные дуги, каждая из которых соответствует углу $$\frac{360^\circ}{4}=90^\circ$$.

Следовательно, при повороте на $$90^\circ$$ квадрат отображается сам на себя.

Ответ: при повороте квадрата вокруг точки пересечения диагоналей на $$90^\circ$$ он отображается на себя.