Упр.1168 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) треугольник является правильным, если все его углы равны; в) любой равносторонний треугольник является правильным; г) любой четырёхугольник с равными сторонами является правильным? Ответ обоснуйте.
Точка $$D$$ является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника $$ABC$$. Докажите, что при повороте вокруг точки $$D$$ на угол $$120^\circ$$ треугольник $$ABC$$ отображается на себя.
Так как $$D$$ — точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника $$ABC$$, то она является центром его описанной окружности. Значит, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной окружности с центром в $$D$$.
В равностороннем треугольнике дуги между соседними вершинами равны, поэтому окружность делится на три равные дуги. Тогда каждая из них равна
$$\frac{360^\circ}{3}=120^\circ.$$
При повороте вокруг точки $$D$$ на $$120^\circ$$ точка $$A$$ перейдёт в $$B$$, точка $$B$$ — в $$C$$, а точка $$C$$ — в $$A$$. Следовательно, треугольник $$ABC$$ при таком повороте отображается на себя.
Ответ: при повороте вокруг точки $$D$$ на $$120^\circ$$ треугольник $$ABC$$ отображается на себя.
