Упр.1166 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники. Постройте отрезок А1B1, который получается из данного отрезка АВ поворотом вокруг данного центра О: а) на 120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки; в) на 180°.

Пусть $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$, причём $$AB=c,\ BC=a,\ CA=b$$ и $$A_1B_1=c_1,\ B_1C_1=a_1,\ C_1A_1=b_1$$. Обозначим коэффициент подобия через $$k$$. Тогда

$$k=\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}.$$

а) Описанные окружности.

Для треугольника $$ABC$$ по теореме синусов имеем

$$\frac{c}{\sin \angle C}=2R,$$

а для треугольника $$A_1B_1C_1$$

$$\frac{c_1}{\sin \angle C_1}=2R_1.$$

Так как подобные треугольники имеют равные соответствующие углы, то $$\angle C=\angle C_1$$, значит $$\sin \angle C=\sin \angle C_1$$. Тогда

$$\frac{c}{2R}=\frac{c_1}{2R_1}.$$

С учётом $$\frac{c}{c_1}=k$$ получаем

$$\frac{R}{R_1}=k.$$

Следовательно, коэффициент подобия равен отношению радиусов описанных окружностей.

б) Вписанные окружности.

Рассмотрим площади подобных треугольников:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2.$$

С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности, то есть

$$S_{ABC}=pr,\qquad S_{A_1B_1C_1}=p_1r_1,$$

где $$p$$ и $$p_1$$ — полупериметры треугольников. У подобных треугольников соответствующие стороны относятся как $$k$$, значит и полупериметры относятся как $$k$$:

$$\frac{p}{p_1}=k.$$

Тогда

$$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{pr}{p_1r_1}=k\cdot \frac{r}{r_1}.$$

Но левая часть равна $$k^2$$, значит

$$k\cdot \frac{r}{r_1}=k^2,$$

откуда

$$\frac{r}{r_1}=k.$$

Итак, коэффициент подобия равен отношению радиусов вписанных окружностей.

Построение отрезка $$A_1B_1$$ при повороте вокруг точки $$O$$.

Для каждого случая строим точки $$A_1$$ и $$B_1$$ как образы точек $$A$$ и $$B$$ при повороте вокруг $$O$$ на заданный угол: при этом сохраняются расстояния до центра, то есть $$OA_1=OA$$ и $$OB_1=OB$$, а угол поворота откладывается от лучей $$OA$$ и $$OB$$ в нужном направлении. Затем соединяем точки $$A_1$$ и $$B_1$$.

• а) поворот на $$120^\circ$$ по часовой стрелке;
• б) поворот на $$75^\circ$$ против часовой стрелки;
• в) поворот на $$180^\circ$$, то есть симметрия относительно точки $$O$$.

Ответ

$$k=\dfrac{R}{R_1}=\dfrac{r}{r_1}.$$