Упр.1166 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.
2. Постройте отрезок $$A_1B_1$$, который получается из данного отрезка $$AB$$ поворотом вокруг данного центра $$O$$: а) на $$120^\circ$$ по часовой стрелке; б) на $$75^\circ$$ против часовой стрелки; в) на $$180^\circ$$.

Пусть $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1,$$ $$AB=c,\ BC=a,\ CA=b,$$ $$A_1B_1=c_1,\ B_1C_1=a_1,\ C_1A_1=b_1,$$ а $$k$$ — коэффициент подобия.

Тогда

$$k=\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}.$$

а) Для описанных окружностей

Для любого треугольника справедливо:

$$a=2R\sin A,\qquad a_1=2R_1\sin A_1.$$

Так как треугольники подобны, то $$\angle A=\angle A_1,$$ значит $$\sin A=\sin A_1.$$ Тогда

$$\frac{a}{a_1}=\frac{2R\sin A}{2R_1\sin A_1}=\frac{R}{R_1}.$$

Но $$\frac{a}{a_1}=k,$$ следовательно,

$$k=\frac{R}{R_1}.$$

б) Для вписанных окружностей

Площадь треугольника выражается через радиус вписанной окружности:

$$S=pr,$$ где $$p$$ — полупериметр.

У подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S}{S_1}=k^2.$$

С другой стороны, так как периметры подобных треугольников относятся как $$k,$$ то и полупериметры относятся как $$k$$. Поэтому

$$\frac{S}{S_1}=\frac{pr}{p_1r_1}=k\cdot \frac{r}{r_1}.$$

Сравнивая с $$\frac{S}{S_1}=k^2,$$ получаем

$$k\cdot \frac{r}{r_1}=k^2,$$

откуда

$$\frac{r}{r_1}=k.$$

Значит,

$$k=\frac{r}{r_1}.$$

Ответ

$$k=\frac{R}{R_1},\qquad k=\frac{r}{r_1}.$$