Упр.1163 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Четырёхугольник $$ABCD$$ задан координатами своих вершин: $$A(-1; 2)$$, $$B(1; -2)$$, $$C(2; 0)$$, $$D(1; 6)$$. Докажите, что $$ABCD$$ — трапеция, и найдите её площадь.
- Начертите треугольник $$ABC$$, вектор $$\overrightarrow{MM_1}$$, который не параллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор $$\vec a$$, параллельный стороне $$AC$$. Постройте треугольник $$A_1B_1C_1$$, который получается из треугольника $$ABC$$ параллельным переносом: а) на вектор $$\overrightarrow{MM_1}$$; б) на вектор $$\vec a$$.
Пусть $$A(-1;2),\ B(1;-2),\ C(2;0),\ D(1;6).$$
Найдём координаты векторов $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$:
$$\overrightarrow{AD}=(1-(-1);\ 6-2)=(2;4),$$
$$\overrightarrow{BC}=(2-1;\ 0-(-2))=(1;2).$$
Векторы $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ пропорциональны:
$$\frac{2}{1}=\frac{4}{2},$$
значит, $$AD \parallel BC.$$
Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ — трапеция.
Найдём её площадь. Удобно использовать формулу через диагонали и угол между ними:
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\,AC\cdot BD\cdot \sin\alpha,$$
где $$\alpha$$ — угол между диагоналями $$AC$$ и $$BD$$.
Вычислим длины диагоналей:
$$\overrightarrow{AC}=(2-(-1);\ 0-2)=(3;-2),$$
$$\overrightarrow{BD}=(1-1;\ 6-(-2))=(0;8).$$
$$|AC|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13},\qquad |BD|=\sqrt{0^2+8^2}=8.$$
Найдём $$\sin\alpha$$. Сначала вычислим косинус угла между диагоналями:
$$\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}}{|AC|\cdot|BD|}= \frac{3\cdot 0+(-2)\cdot 8}{\sqrt{13}\cdot 8} =-\frac{2}{\sqrt{13}}.$$
Тогда
$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\frac{4}{13}} =\sqrt{\frac{9}{13}} =\frac{3}{\sqrt{13}}.$$
Подставим в формулу площади:
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{13}\cdot 8\cdot \frac{3}{\sqrt{13}}=12.$$
Ответ: $$12$$.
