Упр.1160 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$, площадь которого равна $$3\sqrt{3}$$, угол $$A$$ острый, $$AB=4\sqrt{3}$$, $$AC=3$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
2. Даны точка $$O$$ и прямая $$b$$. Постройте прямую, на которую отображается прямая $$b$$ при центральной симметрии с центром $$O$$.

Пусть $$R$$ — радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Найдём сначала угол $$A$$ по формуле площади треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A$$
$$3\sqrt3=\frac12 \cdot 4\sqrt3 \cdot 3 \cdot \sin \angle A$$
$$3\sqrt3=6\sqrt3 \sin \angle A$$
$$\sin \angle A=\frac{3\sqrt3}{6\sqrt3}=\frac12$$

Так как угол $$A$$ острый, то $$\angle A=30^\circ$$.

Теперь по теореме косинусов найдём сторону $$BC$$:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A$$
$$BC^2=(4\sqrt3)^2+3^2-2\cdot 4\sqrt3 \cdot 3 \cdot \cos 30^\circ$$
$$BC^2=48+9-24\sqrt3 \cdot \frac{\sqrt3}{2}$$
$$BC^2=57-36=21$$
$$BC=\sqrt{21}$$

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin \angle A}=2R$$
$$\frac{\sqrt{21}}{\sin 30^\circ}=2R$$
$$\frac{\sqrt{21}}{1/2}=2R$$
$$2\sqrt{21}=2R$$
$$R=\sqrt{21}$$

Ответ: $$\sqrt{21}$$.