Упр.1160 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В треугольнике ABC, площадь которого равна 3корень3, угол А острый, АВ = 4корень3, АС = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника. Даны точка О и прямая b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при центральной симметрии с центром О.

Подробный ответ

1) Найдём угол $$A$$ по формуле площади треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A.$$

Подставим данные:

$$3\sqrt3=\frac12 \cdot 4\sqrt3 \cdot 3 \cdot \sin \angle A,$$

$$3\sqrt3=6\sqrt3 \sin \angle A,$$

$$\sin \angle A=\frac{3\sqrt3}{6\sqrt3}=\frac12.$$

Так как угол $$A$$ острый, то $$\angle A=30^\circ.$$

2) По теореме косинусов найдём сторону $$BC$$:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A.$$

$$BC^2=(4\sqrt3)^2+3^2-2\cdot 4\sqrt3 \cdot 3 \cdot \cos 30^\circ,$$

$$BC^2=48+9-24\sqrt3 \cdot \frac{\sqrt3}{2}=57-36=21.$$

Значит, $$BC=\sqrt{21}.$$

3) По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin \angle A}=2R.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt{21}}{\sin 30^\circ}=2R,$$

$$\frac{\sqrt{21}}{1/2}=2R,$$

$$2\sqrt{21}=2R,$$

$$R=\sqrt{21}.$$

4) При центральной симметрии с центром $$O$$ каждая точка прямой $$b$$ переходит в симметричную ей точку. Чтобы построить образ прямой, достаточно взять на прямой $$b$$ две точки $$A$$ и $$B$$, построить их образы $$A’$$ и $$B’$$ так, чтобы $$O$$ была серединой отрезков $$AA’$$ и $$BB’$$, а затем провести прямую через точки $$A’$$ и $$B’$$. Это и есть искомая прямая $$b’$$.