Упр.1157 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. При каком значении $$x$$ векторы $$p=xa+17b$$ и $$q=3a-b$$ перпендикулярны, если $$|a|=2$$, $$|b|=5$$ и угол между векторами $$a$$ и $$b$$ равен $$120^\circ$$?
2. Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.

Пусть $$\vec p=x\vec a+17\vec b,$$ $$\vec q=3\vec a-\vec b.$$

Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

$$\vec p\cdot \vec q=0.$$

Вычислим:

$$\vec p\cdot \vec q=(x\vec a+17\vec b)(3\vec a-\vec b) =3x\vec a^{\,2}-x\vec a\cdot \vec b+51\vec a\cdot \vec b-17\vec b^{\,2}.$$

Так как $$|\vec a|=2,$$ $$|\vec b|=5,$$ $$\angle(\vec a,\vec b)=120^\circ,$$ то

$$\vec a^{\,2}=|\vec a|^2=4,\qquad \vec b^{\,2}=|\vec b|^2=25,$$

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos 120^\circ=2\cdot 5\cdot \left(-\frac12\right)=-5.$$

Подставим:

$$\vec p\cdot \vec q=3x\cdot 4-x(-5)+51(-5)-17\cdot 25 =12x+5x-255-425 =17x-680.$$

Тогда

$$17x-680=0,$$

$$x=\frac{680}{17}=40.$$

Ответ: $$40$$.