Упр.1155 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите длину вектора a = 3i-4j, где i и j— координатные векторы. ABC и А1В1С1 — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки А, В и С отображаются в точки А1, В1, С1.

Пусть существует движение, при котором $$A \to A_1,$$ $$B \to B_1,$$ $$C \to C_1.$$

Движение сохраняет расстояния, значит

$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad A_1C_1=AC.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по трём сторонам. Значит, такое движение, если оно существует, переводит один данный треугольник в другой.

Докажем, что оно единственно.

Пусть существует ещё одно движение, при котором $$A \to A_1,$$ $$B \to B_1,$$ $$C \to C_1.$$ Тогда оно также сохраняет расстояния между точками, а значит, полностью определяется образом трёх точек $$A, B, C.$$

Если бы существовали два различных движения, переводящих $$A, B, C$$ в $$A_1, B_1, C_1,$$ то их композиция оставляла бы точки $$A, B, C$$ неподвижными. Но движение, оставляющее неподвижными три неколлинеарные точки, является тождественным. Следовательно, два различных движения невозможны.

Итак, существует не более одного движения, при котором точки $$A, B, C$$ отображаются в точки $$A_1, B_1, C_1.$$

Ответ

Существует не более одного такого движения.