Упр.1155 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите длину вектора $$a=3i-4j$$, где $$i$$ и $$j$$ — координатные векторы.
2. $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ отображаются в точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$.

Пусть существует движение, при котором $$A\mapsto A_1,\quad B\mapsto B_1,\quad C\mapsto C_1.$$

Движение сохраняет расстояния, значит

$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad A_1C_1=AC.$$

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по трём сторонам. Значит, такое движение существует.

Докажем, что оно единственно.

Предположим, что есть два движения, переводящие $$A,B,C$$ соответственно в $$A_1,B_1,C_1$$. Тогда композиция одного из них с обратным к другому оставляет точки $$A,B,C$$ на месте. Но движение, оставляющее неподвижными три точки, не лежащие на одной прямой, является тождественным. Значит, оба движения совпадают.

Итак, существует не более одного движения, при котором точки $$A,B,C$$ отображаются в точки $$A_1,B_1,C_1$$.