Упр.1154 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Докажите, что треугольник с вершинами А $$\left(3; 0\right)$$, В $$\left(1; 5\right)$$ и С $$\left(2; 1\right)$$ тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.
2. Задание учебника 2023 года. Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(3-1)^2+(0-5)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29},$$
$$BC=\sqrt{(1-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17},$$
$$AC=\sqrt{(3-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.$$

Наибольшая сторона — $$AB$$, значит, против неё лежит наибольший угол $$\angle C$$.

По теореме косинусов:

$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C,$$
$$29=2+17-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{17}\cdot \cos \angle C,$$
$$29=19-2\sqrt{34}\cos \angle C,$$
$$10=-2\sqrt{34}\cos \angle C,$$
$$\cos \angle C=-\frac{5}{\sqrt{34}}.$$

Так как $$\cos \angle C<0$$, угол $$\angle C$$ тупой. Следовательно, треугольник $$ABC$$ тупоугольный.

Ответ: $$\cos \angle C=-\frac{5}{\sqrt{34}}$$, треугольник тупоугольный.