Упр.1152 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите биссектрису $$AD$$ треугольника $$ABC$$, если угол $$A = \alpha$$, $$AB = c$$, $$AC = b$$.
2. Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.

При движении сохраняются расстояния и величины углов. Поэтому образ любой фигуры имеет те же свойства, что и сама фигура.

1. Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, а точки $$A_1, B_1, C_1, D_1$$ — образы точек $$A, B, C, D$$ при движении.

   В параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$. При движении параллельность сохраняется, значит

   $$A_1B_1 \parallel C_1D_1,\qquad B_1C_1 \parallel A_1D_1.$$

   Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.

2. Пусть $$ABCD$$ — трапеция, причём $$AD \parallel BC$$. Тогда после движения получаем

   $$A_1D_1 \parallel B_1C_1.$$

   Значит, $$A_1B_1C_1D_1$$ — трапеция.

3. Пусть $$ABCD$$ — ромб. Тогда

   $$AB=BC=CD=DA.$$

   Движение сохраняет длины, поэтому

   $$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1.$$

   Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — ромб.

4. Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник. Тогда

   $$AB=CD,\quad BC=AD,\quad \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ.$$

   При движении сохраняются и длины, и углы, значит

   $$A_1B_1=C_1D_1,\quad B_1C_1=D_1A_1,\quad \angle A_1=\angle B_1=\angle C_1=\angle D_1=90^\circ.$$

   Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — прямоугольник.

5. Если $$ABCD$$ — квадрат, то у него все стороны равны и все углы прямые. После движения эти свойства сохраняются, значит образ тоже является квадратом.

Ответ

а) параллелограмм; б) трапеция; в) ромб; г) прямоугольник; квадрат.