Упр.1150 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Используя теорему косинусов, решите треугольник $$ABC$$, если:
а) $$AB=5\text{ см}$$, $$AC=7{,}5\text{ см}$$, угол $$A=135^\circ$$;
б) $$AB=2\sqrt{2}\text{ дм}$$, $$BC=3\text{ дм}$$, угол $$B=45^\circ$$;
в) $$AC=0{,}6\text{ м}$$, $$BC=\frac{\sqrt{3}}{4}\text{ дм}$$, угол $$C=150^\circ$$. - Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.
а) По теореме косинусов:
$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$$
$$BC^2=5^2+7{,}5^2-2\cdot 5\cdot 7{,}5\cdot \cos 135^\circ$$
$$BC^2=25+56{,}25-75\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=81{,}25+37{,}5\sqrt2$$
$$BC\approx 11{,}59\text{ см}$$
Теперь найдём угол $$B$$:
$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$$
$$7{,}5^2=5^2+11{,}59^2-2\cdot 5\cdot 11{,}59\cdot \cos B$$
$$\cos B\approx 0{,}88895$$
$$\angle B\approx 27^\circ15’$$
Тогда
$$\angle C=180^\circ-135^\circ-27^\circ15’=17^\circ45’$$
б) По теореме косинусов:
$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$$
$$AC^2=(2\sqrt2)^2+3^2-2\cdot 2\sqrt2\cdot 3\cdot \cos 45^\circ$$
$$AC^2=8+9-12\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=17-12=5$$
$$AC=\sqrt5\text{ дм}$$
Теперь найдём угол $$C$$:
$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C$$
$$8=5+9-2\cdot \sqrt5\cdot 3\cdot \cos C$$
$$6\sqrt5\cos C=6$$
$$\cos C=\frac{1}{\sqrt5}$$
$$\angle C\approx 63^\circ26’$$
Тогда
$$\angle A=180^\circ-45^\circ-63^\circ26’=71^\circ34’$$
в) Переведём длину $$AC$$ в дм:
$$AC=0{,}6\text{ м}=6\text{ дм}$$
По теореме косинусов:
$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C$$
$$AB^2=6^2+\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^2-2\cdot 6\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot \cos 150^\circ$$
$$AB^2=36+\frac{3}{16}-3\sqrt3\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=36+\frac{3}{16}+\frac{9}{2}$$
$$AB^2=40{,}6875$$
$$AB=6{,}375\text{ дм}$$
Теперь найдём угол $$B$$:
$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$$
$$36=40{,}6875+\frac{3}{16}-2\cdot 6{,}375\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot \cos B$$
$$\cos B\approx 0{,}8796$$
$$\angle B\approx 28^\circ24’$$
Тогда
$$\angle A=180^\circ-150^\circ-28^\circ24’=1^\circ36’$$
Ответ: а) $$BC\approx 11{,}59\text{ см},\ \angle B\approx 27^\circ15′,\ \angle C\approx 17^\circ45’$$; б) $$AC=\sqrt5\text{ дм},\ \angle A\approx 71^\circ34′,\ \angle C\approx 63^\circ26’$$; в) $$AB=6{,}375\text{ дм},\ \angle A\approx 1^\circ36′,\ \angle B\approx 28^\circ24’$$.
