Упр.115 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
2. Задание учебника 2023 года. Медиана $$AM$$ треугольника $$ABC$$ равна отрезку $$BM$$. Докажите, что один из углов треугольника $$ABC$$ равен сумме двух других углов.

Пусть $$M$$ — середина стороны $$AC$$, так как $$AM$$ — медиана. По условию $$AM=BM$$.

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. В нём $$AM=BM$$, значит, он равнобедренный. Тогда его углы при основании равны:

$$\angle BAM=\angle ABM.$$

Обозначим $$\angle ABM=\angle BAM=\alpha$$, а $$\angle MAC=\beta$$.

Так как точки $$A, M, C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle BMC=180^\circ-\angle BMA.$$

Но в треугольнике $$ABM$$

$$\angle BMA=180^\circ-2\alpha,$$

следовательно,

$$\angle BMC=2\alpha.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BMC$$. В нём $$BM=MC$$, потому что $$M$$ — середина $$AC$$ и $$AM=BM$$, значит $$AM=MC$$, а вместе с $$AM=BM$$ получаем $$BM=MC$$. Следовательно, треугольник $$BMC$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle MBC=\angle BCM.$$

Пусть $$\angle MBC=\angle BCM=\gamma$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$

$$\angle A=\angle BAM+\angle MAC=\alpha+\beta,$$

$$\angle B=\angle ABM+\angle MBC=\alpha+\gamma,$$

$$\angle C=\angle BCM=\gamma.$$

Из равенства углов в равнобедренных треугольниках получаем, что один из углов треугольника $$ABC$$ равен сумме двух других. Действительно,

$$\angle A=\angle B+\angle C.$$

Что и требовалось доказать.