Упр.1149 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если: а) АВ = 8 см, угол A = 30°, угол B = 45°; б) АВ = 5 см, угол B = 45°, угол C = 60°; в) АВ = 3см, ВС = 3,3 см, угол A = 48°30′; г) АС = 10,4 см, ВС = 5,2 см, угол B = 62°48′. Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

а) Найдём третий угол треугольника:

$$\angle C=180^\circ-(30^\circ+45^\circ)=105^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{BC}{\sin \angle A}.$$

Тогда

$$AC=\frac{AB\sin \angle B}{\sin \angle C}=\frac{8\sin 45^\circ}{\sin 105^\circ}\approx 5{,}86\text{ см},$$

$$BC=\frac{AB\sin \angle A}{\sin \angle C}=\frac{8\sin 30^\circ}{\sin 105^\circ}\approx 4{,}14\text{ см}.$$

б) Найдём третий угол:

$$\angle A=180^\circ-(45^\circ+60^\circ)=75^\circ.$$

По теореме синусов:

$$AC=\frac{AB\sin \angle B}{\sin \angle C}=\frac{5\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}\approx 4{,}1\text{ см},$$

$$BC=\frac{AB\sin \angle A}{\sin \angle C}=\frac{5\sin 75^\circ}{\sin 60^\circ}\approx 5{,}58\text{ см}.$$

в) По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{BC}{\sin \angle A}.$$

Отсюда

$$\sin \angle C=\frac{AB\sin \angle A}{BC}=\frac{3\sin 48^\circ 30′}{3{,}3}\approx 0{,}6809,$$

значит

$$\angle C\approx 42^\circ 55′.$$

Тогда

$$\angle B=180^\circ-(48^\circ 30’+42^\circ 55′)=88^\circ 35′.$$

Теперь найдём $AC$:

$$AC=\frac{BC\sin \angle B}{\sin \angle A}=\frac{3{,}3\sin 88^\circ 35′}{\sin 48^\circ 30′}\approx 4{,}4\text{ см}.$$

г) По теореме синусов:

$$\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{BC}{\sin \angle A}.$$

Отсюда

$$\sin \angle A=\frac{BC\sin \angle B}{AC}=\frac{5{,}2\sin 62^\circ 48′}{10{,}4}\approx 0{,}4447,$$

значит

$$\angle A\approx 26^\circ 24′.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-(62^\circ 48’+26^\circ 24′)=90^\circ 48′.$$

Найдём $AB$:

$$AB=\frac{AC\sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{10{,}4\sin 90^\circ 48′}{\sin 62^\circ 48′}\approx 11{,}69\text{ см}.$$

Доказательство.

а) Пусть при центральной симметрии относительно точки $O$ прямая $a$ переходит в прямую $a’$. Возьмём на $a$ любые точки $A$ и $B$, не совпадающие с $O$.

При центральной симметрии точка $A$ переходит в точку $A’$, а точка $B$ — в точку $B’$, причём $O$ — середина отрезков $AA’$ и $BB’$. Следовательно,

$$AO=A’O,\qquad BO=B’O.$$

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $A’OB’$. У них

$$AO=A’O,\qquad BO=B’O,\qquad \angle AOB=\angle A’OB’$$

(вертикальные углы). Значит, треугольники равны, поэтому

$$\angle ABO=\angle A’B’O.$$

Так как точки $A,B$ лежат на прямой $a$, а точки $A’,B’$ — на образе этой прямой $a’$, то равенство соответствующих углов означает, что прямые $a$ и $a’$ параллельны:

$$a\parallel a’.$$

б) Пусть прямая $a$ проходит через центр симметрии $O$. Возьмём любую точку $A\in a$. Её образ $A’$ при центральной симметрии лежит на прямой $OA$, а так как $O\in a$, то прямая $OA$ совпадает с $a$.

Значит, $A’\in a$. Следовательно, каждой точке прямой $a$ соответствует точка той же прямой, то есть прямая $a$ переходит в себя:

$$a’=a.$$

Ответ

а) $$\angle C=105^\circ,\quad AC\approx 5{,}86\text{ см},\quad BC\approx 4{,}14\text{ см}.$$

б) $$\angle A=75^\circ,\quad AC\approx 4{,}1\text{ см},\quad BC\approx 5{,}58\text{ см}.$$

в) $$\angle C\approx 42^\circ 55′,\quad \angle B\approx 88^\circ 35′,\quad AC\approx 4{,}4\text{ см}.$$

г) $$\angle A\approx 26^\circ 24′,\quad \angle C\approx 90^\circ 48′,\quad AB\approx 11{,}69\text{ см}.$$

При центральной симметрии: прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную ей прямую; прямая, проходящая через центр, переходит в себя.