Упр.1149 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Используя теорему синусов, решите треугольник $$ABC$$, если: а) $$AB=8\text{ см}$$, угол $$A=30^\circ$$, угол $$B=45^\circ$$; б) $$AB=5\text{ см}$$, угол $$B=45^\circ$$, угол $$C=60^\circ$$; в) $$AB=3\text{ см}$$, $$BC=3{,}3\text{ см}$$, угол $$A=48^\circ30’$$; г) $$AC=10{,}4\text{ см}$$, $$BC=5{,}2\text{ см}$$, угол $$B=62^\circ48’$$.
- Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
а) Найдём третий угол треугольника:
$$\angle C=180^\circ-(30^\circ+45^\circ)=105^\circ.$$
По теореме синусов:
$$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{BC}{\sin \angle A}.$$
Тогда
$$AC=\frac{AB\sin 45^\circ}{\sin 105^\circ}=\frac{8\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\sin 105^\circ}\approx 5{,}86\text{ см},$$
$$BC=\frac{AB\sin 30^\circ}{\sin 105^\circ}=\frac{8\cdot \frac12}{\sin 105^\circ}\approx 4{,}14\text{ см}.$$
б) Найдём третий угол:
$$\angle A=180^\circ-(45^\circ+60^\circ)=75^\circ.$$
По теореме синусов:
$$AC=\frac{AB\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}=\frac{5\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}\approx 4{,}1\text{ см},$$
$$BC=\frac{AB\sin 75^\circ}{\sin 60^\circ}\approx 5{,}58\text{ см}.$$
в) По теореме синусов:
$$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{BC}{\sin \angle A}.$$
Отсюда
$$\sin \angle C=\frac{AB\sin \angle A}{BC}=\frac{3\sin 48^\circ 30′}{3{,}3}\approx 0{,}6809,$$
значит,
$$\angle C\approx 42^\circ 55′.$$
Тогда
$$\angle B=180^\circ-(48^\circ 30’+42^\circ 55′)=88^\circ 35′.$$
Теперь найдём $$AC$$:
$$AC=\frac{BC\sin \angle B}{\sin \angle A}=\frac{3{,}3\sin 88^\circ 35′}{\sin 48^\circ 30′}\approx 4{,}4\text{ см}.$$
г) По теореме синусов:
$$\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{AB}{\sin \angle C}.$$
Найдём угол $$A$$:
$$\sin \angle A=\frac{BC\sin \angle B}{AC}=\frac{5{,}2\sin 62^\circ 48′}{10{,}4}\approx 0{,}4447,$$
откуда
$$\angle A\approx 26^\circ 24′.$$
Тогда
$$\angle C=180^\circ-(62^\circ 48’+26^\circ 24′)=90^\circ 48′.$$
Теперь найдём $$AB$$:
$$AB=\frac{AC\sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{10{,}4\sin 90^\circ 48′}{\sin 62^\circ 48′}\approx 11{,}69\text{ см}.$$
Ответ
а) $$\angle C=105^\circ,\ AC\approx 5{,}86\text{ см},\ BC\approx 4{,}14\text{ см}.$$
б) $$\angle A=75^\circ,\ AC\approx 4{,}1\text{ см},\ BC\approx 5{,}58\text{ см}.$$
в) $$\angle C\approx 42^\circ 55′,\ \angle B=88^\circ 35′,\ AC\approx 4{,}4\text{ см}.$$
г) $$\angle A\approx 26^\circ 24′,\ \angle C=90^\circ 48′,\ AB\approx 11{,}69\text{ см}.$$
