Упр.1148 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
- Докажите, что при осевой симметрии плоскости:
а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии;
б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.
а) Пусть прямая $$a$$ параллельна оси симметрии $$l$$. Возьмём на прямой $$a$$ любые точки $$A$$ и $$B$$ и обозначим их образы при осевой симметрии через $$A’$$ и $$B’$$.
При осевой симметрии сохраняются расстояния до оси, значит, если $$AF=A’F$$ и $$BE=B’E$$, то прямые $$AA’$$ и $$BB’$$ перпендикулярны оси $$l$$. Так как $$a \parallel l$$, то $$AA’ \perp a$$ и $$BB’ \perp a$$.
Следовательно, точки $$A’$$ и $$B’$$ лежат на одной прямой, параллельной $$a$$, а значит, и параллельной $$l$$. Итак, прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии.
б) Пусть прямая $$a$$ перпендикулярна оси симметрии $$l$$. Возьмём на ней произвольную точку $$A$$ и обозначим её образ через $$A’$$.
Так как при осевой симметрии точка и её образ лежат на прямой, перпендикулярной оси $$l$$, то прямая $$AA’$$ перпендикулярна $$l$$. Но прямая $$a$$ тоже перпендикулярна $$l$$, значит, $$AA’$$ совпадает с $$a$$. Следовательно, образ точки $$A’$$ принадлежит той же прямой $$a$$.
Так верно для любой точки прямой $$a$$, значит, вся прямая $$a$$ отображается на себя.
Ответ
а) Прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии.
б) Прямая, перпендикулярная оси симметрии, отображается на себя.
