Упр.1147 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ВС = 4,125 м, угол B = 44°, угол C=72°; б) ВС = 4100 м, угол A = 32°, угол C = 120° Около данной окружности опишите: а) правильный четырёхугольник; б) правильный восьмиугольник.

Подробный ответ

а) Найдём третий угол треугольника:

$$\angle A=180^\circ-(44^\circ+72^\circ)=64^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{BC}{\sin \angle A}$$

откуда

$$AB=\frac{BC\cdot \sin 72^\circ}{\sin 64^\circ}=\frac{4{,}125\cdot \sin 72^\circ}{\sin 64^\circ}\approx \frac{4{,}125\cdot 0{,}9511}{0{,}8988}\approx 4{,}365\ \text{м}.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\,AB\cdot BC\cdot \sin \angle B$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 4{,}365\cdot 4{,}125\cdot \sin 44^\circ\approx \frac{1}{2}\cdot 4{,}365\cdot 4{,}125\cdot 0{,}695\approx 6{,}25\ \text{м}^2.$$

б) Найдём третий угол:

$$\angle A=180^\circ-(120^\circ+32^\circ)=28^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{BC}{\sin \angle A}$$

откуда

$$AB=\frac{BC\cdot \sin 120^\circ}{\sin 32^\circ}=\frac{4100\cdot \sin 120^\circ}{\sin 32^\circ}\approx \frac{4100\cdot 0{,}8660}{0{,}5299}\approx 6700{,}5\ \text{м}.$$

Тогда

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\,AB\cdot BC\cdot \sin \angle B$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6700{,}5\cdot 4100\cdot \sin 28^\circ\approx \frac{1}{2}\cdot 6700{,}5\cdot 4100\cdot 0{,}4695\approx 6448673{,}1\ \text{м}^2.$$

Около данной окружности можно описать:

а) правильный четырёхугольник — если провести две взаимно перпендикулярные диаметральные прямые через центр окружности, отметить на окружности четыре точки пересечения и соединить их;

б) правильный восьмиугольник — если провести две взаимно перпендикулярные диаметральные прямые, затем провести биссектрисы прямых углов между соседними радиусами и отметить восемь точек пересечения с окружностью, после чего соединить их по порядку.