Упр.1146 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ $$AB=AC=b$$, $$\angle A=30^\circ$$. Найдите высоты $$BE$$ и $$AD$$, а также отрезки $$AE$$, $$EC$$, $$BC$$.
- Около данной окружности опишите: а) правильный треугольник; б) правильный шестиугольник.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABE$$. Так как $$\angle A=30^\circ$$, то
$$\angle ABE=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы, значит
$$BE=\frac12 AB=\frac b2.$$
Найдём $$AE$$ по теореме Пифагора:
$$AE=\sqrt{AB^2-BE^2} =\sqrt{b^2-\frac{b^2}{4}} =\sqrt{\frac{3b^2}{4}} =\frac{b\sqrt3}{2}.$$
Тогда
$$EC=AC-AE=b-\frac{b\sqrt3}{2} =\frac{b(2-\sqrt3)}{2}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$EBC$$:
$$BC=\sqrt{BE^2+EC^2} =\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{b^2(2-\sqrt3)^2}{4}}.$$
Упростим:
$$BC=\sqrt{\frac{b^2\bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)}{4}} =\sqrt{\frac{b^2(8-4\sqrt3)}{4}} =\sqrt{b^2(2-\sqrt3)} =b\sqrt{2-\sqrt3}.$$
Для высоты $$AD$$ рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADC$$:
$$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}.$$
Так как $$CD=\dfrac{BC}{2}$$, то
$$CD=\frac{b\sqrt{2-\sqrt3}}{2}.$$
Следовательно,
$$AD=\sqrt{b^2-\frac{b^2(2-\sqrt3)}{4}} =\sqrt{\frac{4b^2-2b^2+\sqrt3\,b^2}{4}} =\sqrt{\frac{b^2(2+\sqrt3)}{4}} =\frac{b\sqrt{2+\sqrt3}}{2}.$$
Итак,
$$BE=\frac b2,\qquad AD=\frac{b\sqrt{2+\sqrt3}}{2},\qquad AE=\frac{b\sqrt3}{2},\qquad EC=\frac{b(2-\sqrt3)}{2},\qquad BC=b\sqrt{2-\sqrt3}.$$
