Упр.1145 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
2. Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов.

Пусть радиусы данных кругов равны $$R_1$$ и $$R_2$$. Тогда площади этих кругов:

$$S_1=\pi R_1^2,\qquad S_2=\pi R_2^2.$$

Требуется построить круг площади

$$S=S_1+S_2=\pi R_1^2+\pi R_2^2=\pi\left(R_1^2+R_2^2\right).$$

Значит, радиус искомого круга должен удовлетворять равенству

$$R^2=R_1^2+R_2^2.$$

Построим такой радиус с помощью прямоугольного треугольника.

1. Построим прямой угол с вершиной в точке $$O$$.
2. На одном его луче отложим отрезок $$OA_1=R_1$$, на другом — отрезок $$OA_2=R_2$$.
3. Соединим точки $$A_1$$ и $$A_2$$. Тогда $$A_1A_2$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника, и по теореме Пифагора
   $$A_1A_2^2=OA_1^2+OA_2^2=R_1^2+R_2^2.$$
4. Следовательно, $$A_1A_2$$ можно взять за радиус искомого круга.
5. Построим окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$A_1A_2$$.

Площадь построенного круга равна

$$S=\pi\cdot A_1A_2^2=\pi\left(R_1^2+R_2^2\right)=S_1+S_2.$$

Следовательно, построенный круг имеет площадь, равную сумме площадей данных кругов.