Упр.1144 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку

Обозначим вершины равнобедренного треугольника так, что $$AB=BC,$$ а основание — $$AC.$$ Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — медианы, причём $$AA_1 \perp BB_1.$$

Введём векторы: $$\overrightarrow{CA_1}=\vec a,\quad \overrightarrow{CB_1}=\vec b.$$ Тогда, так как $$A_1$$ и $$B_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AC$$ соответственно, имеем

$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CA_1}-\overrightarrow{CA}=\vec a-2\vec b,$$

$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CB_1}-\overrightarrow{CB}=\vec b-2\vec a.$$

Из условия перпендикулярности медиан получаем:

$$\overrightarrow{AA_1}\cdot \overrightarrow{BB_1}=0.$$

Тогда

$$ (\vec a-2\vec b)(\vec b-2\vec a)=0 $$

$$ \vec a\cdot \vec b-2\vec a\cdot \vec a-2\vec b\cdot \vec b+4\vec a\cdot \vec b=0 $$

$$ 5\vec a\cdot \vec b-2a^2-2b^2=0. $$

Так как треугольник равнобедренный, то $$a=b,$$ значит

$$ 5\vec a\cdot \vec b-4a^2=0. $$

Но $$\vec a\cdot \vec b=a^2\cos \angle C,$$ поэтому

$$ 5a^2\cos \angle C-4a^2=0, $$

$$ \cos \angle C=\frac45. $$

Следовательно,

$$ \angle C=\arccos \frac45 \approx 36^\circ52′. $$

Теперь построим правильный восьмиугольник по данному отрезку.

Пусть дан отрезок $$A_1A_2.$$ Построение:

1. Продлим данный отрезок.
2. В точке $$A_2$$ построим перпендикуляр к прямой $$A_1A_2$$.
3. Построим биссектрису угла между продолжением отрезка и перпендикуляром; получим направление стороны правильного восьмиугольника, так как его внутренний угол равен $$135^\circ$$.
4. На биссектрисе отложим отрезок, равный $$A_1A_2,$$ и получим точку $$A_3.$$
5. В точке $$A_3$$ восстановим перпендикуляр к $$A_2A_3$$ и на нём отложим $$A_3A_4=A_1A_2.$$
6. Построим серединные перпендикуляры к отрезкам $$A_2A_1$$ и $$A_2A_3$$; их пересечение обозначим через $$O.$$ Это центр описанной окружности.
7. Проведём окружность с центром $$O$$.
8. Через точки $$A_1, A_2, A_3, A_4$$ проведём прямые через центр $$O$$ и отметим на окружности точки $$A_5, A_6, A_7, A_8.$$
9. Соединим последовательно точки $$A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8.$$

Получим правильный восьмиугольник со стороной, равной данному отрезку.

Ответ

$$\angle C \approx 36^\circ52′.$$ Правильный восьмиугольник строится по описанному выше алгоритму.