Упр.1144 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
- Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку.
Обозначим векторы $$\overrightarrow{CA_1}=\vec a$$ и $$\overrightarrow{CB_1}=\vec b$$. Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то $$CA_1=CB_1=a$$.
Тогда
$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CA_1}-\overrightarrow{CA}=\vec a-2\vec b,$$
$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CB_1}-\overrightarrow{CB}=\vec b-2\vec a.$$
По условию $$AA_1 \perp BB_1$$, значит, их скалярное произведение равно нулю:
$$\overrightarrow{AA_1}\cdot \overrightarrow{BB_1}=0.$$
Вычислим:
$$(\vec a-2\vec b)(\vec b-2\vec a) = \vec a\cdot \vec b-2\vec a\cdot \vec a-2\vec b\cdot \vec b+4\vec a\cdot \vec b =5\vec a\cdot \vec b-2a^2-2a^2.$$
Так как $$\vec a\cdot \vec b=a^2\cos \angle C,$$ получаем
$$5a^2\cos \angle C-4a^2=0.$$
Отсюда
$$\cos \angle C=\frac45.$$
Следовательно,
$$\angle C=\arccos \frac45 \approx 36^\circ 52′.$$
Ответ: $$36^\circ 52′.$$
