Упр.1143 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что если AM — медиана треугольника ABC, то 4AM2 = АВ2 + АС2 + 2АВ x АС x cosА. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу 2, п. 65). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$AM$$ — медиана, значит $$BM=MC=\frac{BC}{2}.$$ Обозначим $$BC=a,$$ $$AC=b,$$ $$AB=c.$$ Тогда по теореме косинусов в треугольниках $$ABM$$ и $$ACM$$:

$$ BM^2=AB^2+AM^2-2\cdot AB\cdot AM\cos\angle BAM, $$
$$ CM^2=AC^2+AM^2-2\cdot AC\cdot AM\cos\angle CAM. $$

Но удобнее применить теорему косинусов к треугольникам $$ABM$$ и $$ACM$$ через сторону $$BC$$. Так как $$BM=CM=\frac{BC}{2},$$ получаем:

$$ AB^2=AM^2+BM^2-2\cdot AM\cdot BM\cos\angle BMA, $$
$$ AC^2=AM^2+CM^2-2\cdot AM\cdot CM\cos\angle AMC. $$

Сложим эти равенства. Поскольку точки $$B, M, C$$ лежат на одной прямой, углы $$\angle BMA$$ и $$\angle AMC$$ смежные, поэтому их косинусы противоположны. Тогда слагаемые с косинусами взаимно уничтожаются, и получаем:

$$ AB^2+AC^2=2AM^2+BM^2+CM^2. $$

Так как $$BM=CM=\frac{BC}{2},$$ то

$$ AB^2+AC^2=2AM^2+2\left(\frac{BC}{2}\right)^2 =2AM^2+\frac{BC^2}{2}. $$

Отсюда

$$ 4AM^2=2AB^2+2AC^2-BC^2. $$

По теореме косинусов для треугольника $$ABC$$:

$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos\angle A. $$

Подставим это в полученную формулу:

$$ 4AM^2=2AB^2+2AC^2-\bigl(AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos\angle A\bigr), $$
$$ 4AM^2=AB^2+AC^2+2\cdot AB\cdot AC\cos\angle A. $$

Это и требовалось доказать.

Теперь пусть треугольник $$ABC$$ равнобедренный, причём $$AB=AC.$$ Тогда для медиан, проведённых к боковым сторонам, по той же формуле получаем одинаковые значения: если $$BN$$ — медиана к стороне $$AC,$$ а $$CK$$ — медиана к стороне $$AB,$$ то

$$ 4BN^2=AB^2+BC^2+2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B, $$
$$ 4CK^2=AC^2+BC^2+2\cdot AC\cdot BC\cos\angle C. $$

Так как $$AB=AC$$ и $$\angle B=\angle C,$$ то правые части равны, значит

$$ BN^2=CK^2, $$
следовательно,
$$ BN=CK. $$

Докажем теперь утверждение про окружности. Пусть высота $$CH$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ делит его на два подобных треугольника $$AHC$$ и $$CHB.$$ Обозначим радиусы их вписанных окружностей через $$r_1$$ и $$r_2,$$ а длины окружностей — через $$C_1$$ и $$C_2.$$

Для подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия $$k$$:

$$ \frac{S_{AHC}}{S_{CHB}}=k^2. $$

С другой стороны, площадь любого треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности:

$$ S_{AHC}=p_1r_1,\qquad S_{CHB}=p_2r_2, $$
где $$p_1$$ и $$p_2$$ — полупериметры этих треугольников.

Так как треугольники подобны, то их полупериметры относятся как коэффициент подобия:

$$ \frac{p_1}{p_2}=k. $$

Тогда

$$ k^2=\frac{S_{AHC}}{S_{CHB}}=\frac{p_1r_1}{p_2r_2}=k\cdot \frac{r_1}{r_2}, $$
откуда
$$ k=\frac{r_1}{r_2}. $$

Но длина окружности равна $$2\pi r,$$ значит

$$ \frac{C_1}{C_2}=\frac{2\pi r_1}{2\pi r_2}=\frac{r_1}{r_2}=k. $$

Следовательно, отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.

Ответ

$$ 4AM^2=AB^2+AC^2+2\cdot AB\cdot AC\cos\angle A; \qquad BN=CK; \qquad \frac{C_1}{C_2}=k. $$