Упр.1143 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то есть $$M$$ — середина стороны $$BC$$. Обозначим $$BC=a$$, $$AC=b$$, $$AB=c$$, а угол между сторонами $$AB$$ и $$AC$$ — через $$\angle A$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$ACM$$. По теореме косинусов:

$$BM^2=AB^2+AM^2-2\cdot AB\cdot AM\cos\angle BAM,$$
$$CM^2=AC^2+AM^2-2\cdot AC\cdot AM\cos\angle MAC.$$

Но так как $$M$$ — середина $$BC$$, то $$BM=CM$$. Кроме того, точки $$B, M, C$$ лежат на одной прямой, поэтому углы $$\angle BAM$$ и $$\angle MAC$$ дополняют друг друга до угла $$A$$. Удобнее воспользоваться формулой для медианы, получаемой из теоремы косинусов:

$$4AM^2=2AB^2+2AC^2-BC^2.$$

Так как по теореме косинусов для стороны $$BC$$ имеем

$$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A,$$

то

$$4AM^2=2AB^2+2AC^2-\bigl(AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A\bigr).$$

Следовательно,

$$4AM^2=AB^2+AC^2+2AB\cdot AC\cos A.$$

Это и требовалось доказать.

Теперь докажем, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны. Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, где $$AB=AC$$. Тогда медианы, проведённые к боковым сторонам, — это $$BN$$ и $$CK$$.

По доказанной формуле для медианы $$BN$$ треугольника $$ABC$$ получаем:

$$4BN^2=AB^2+BC^2+2AB\cdot BC\cos\angle B.$$

Аналогично для медианы $$CK$$:

$$4CK^2=AC^2+BC^2+2AC\cdot BC\cos\angle C.$$

Так как $$AB=AC$$, то $$\angle B=\angle C$$, значит правые части этих равенств равны. Следовательно,

$$4BN^2=4CK^2,$$
откуда

$$BN=CK.$$

Значит, медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.