Упр.1142 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Вычислите скалярное произведение векторов а и b, если a = 3p-2q и b=р + 4q, где р и q — единичные взаимно перпендикулярные векторы. Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна 13 см. Найдите длину описанной окружности.

Подробный ответ

Так как около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобокая, значит $$AB=CD.$$

Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AD$$. Тогда в равнобокой трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны, поэтому

$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{14-4}{2}=5.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.$$

Пусть $$O$$ — центр описанной окружности. Он лежит на серединном перпендикуляре к стороне $$BA$$. Обозначим через $$E$$ середину основания $$AD$$, тогда $$OE$$ — серединный перпендикуляр к $$AD$$, а значит центр $$O$$ лежит на прямой $$FE$$, где $$F$$ — середина $$BC$$.

Пусть $$OF=x$$. Тогда по теореме Пифагора для радиуса окружности:

$$R^2=x^2+BF^2,$$

где $$BF=\frac{BC}{2}=2.$$

С другой стороны, расстояние от центра до основания $$AD$$ равно $$OE=BH-x=12-x$$, поэтому

$$R^2=AE^2+OE^2=7^2+(12-x)^2.$$

Приравниваем:

$$x^2+4=49+(12-x)^2,$$

$$x^2+4=49+144-24x+x^2,$$

$$24x=189,$$

$$x=7{,}875.$$

Тогда

$$R^2=x^2+4=7{,}875^2+4=66{,}015625,$$