Упр.1142 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Вычислите скалярное произведение векторов $$a$$ и $$b$$, если $$a=3p-2q$$ и $$b=p+4q$$, где $$p$$ и $$q$$ — единичные взаимно перпендикулярные векторы.
Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны $$4\ \text{см}$$ и $$14\ \text{см}$$, а одна из боковых сторон равна $$13\ \text{см}$$. Найдите длину описанной окружности.

Подробный ответ

Так как около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобокая, значит $$AB=CD.$$

Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AD.$$ Тогда в равнобокой трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны, поэтому

$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{14-4}{2}=5.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ найдем высоту:

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12.$$

Пусть $$O$$ — центр описанной окружности, а $$E$$ — середина основания $$AD$$. Тогда $$OE\perp AD$$, значит точка $$O$$ лежит на перпендикуляре к $$AD$$, проведённом через середину основания. Обозначим $$OF=x$$, где $$F$$ — точка на верхнем основании, лежащая на этом перпендикуляре.

Из прямоугольных треугольников получаем:

$$R^2=x^2+BF^2,$$

$$R^2=AE^2+(12-x)^2.$$

Так как $$AE=\frac{AD}{2}=7,$$ то

$$x^2+4=49+(12-x)^2.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+4=49+144-24x+x^2,$$

$$24x=189,$$

$$x=7{,}875.$$

Тогда

$$R^2=x^2+4=7{,}875^2+4=66{,}015625,$$

$$R=8{,}125.$$