Упр.1140 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Известно, что $$\widehat{ac}=\widehat{bc}=60^\circ$$, $$|a|=1$$, $$|b|=|c|=2$$. Вычислите $$(a+b)\times c$$.
2. В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.

Обозначим радиус вписанной окружности через $$r$$, а периметр правильного многоугольника — через $$P_n$$.

Площадь круга равна

$$S_{\text{кр}}=\pi r^2,$$

а длина окружности —

$$C=2\pi r.$$

Площадь правильного многоугольника с вписанной окружностью выражается формулой

$$S_n=\frac12 P_n\cdot r.$$

Тогда

$$\frac{S_{\text{кр}}}{S_n} = \frac{\pi r^2}{\frac12 P_n r} = \frac{2\pi r}{P_n} = \frac{C}{P_n}.$$

Следовательно, отношение площади круга к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника, что и требовалось доказать.