Упр.114 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$BC$$ проведена медиана $$AM$$. Найдите медиану $$AM$$, если периметр треугольника $$ABC$$ равен $$32\ \text{см}$$, а периметр треугольника $$ABM$$ равен $$24\ \text{см}$$.
2. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$BC$$, то $$AB=AC$$. Поскольку $$AM$$ — медиана, имеем $$BM=MC$$, значит

$$BC=2BM.$$

Периметр треугольника $$ABC$$ равен

$$P_{ABC}=AB+AC+BC=2AB+2BM=32,$$

откуда

$$AB+BM=16.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABM$$. По условию его периметр равен

$$P_{ABM}=AB+BM+AM=24.$$

Подставим найденную сумму $$AB+BM=16$$:

$$16+AM=24,$$

следовательно,

$$AM=8\text{ см}.$$

Ответ: $$8\text{ см}$$.