Упр.1138 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите углы треугольника с вершинами $$A(-1;\sqrt{3})$$, $$B(1;-\sqrt{3})$$ и $$C\left(\frac{1}{2};\sqrt{3}\right)$$.
- Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если:
а) диагонали ромба равны $$6\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$;
б) сторона ромба равна $$\text{а}$$ и острый угол равен $$\text{а}$$.
Рассмотрим координаты вершин треугольника $$A(-1;\sqrt3),\; B(1;-\sqrt3),\; C\left(\frac12;\sqrt3\right).$$
Найдём длины его сторон по формуле расстояния между точками:
$$AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(-\sqrt3-\sqrt3)^2}=\sqrt{2^2+(-2\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=4,$$
$$AC=\sqrt{\left(\frac12-(-1)\right)^2+(\sqrt3-\sqrt3)^2}=\sqrt{\left(\frac32\right)^2}=\frac32,$$
$$BC=\sqrt{\left(1-\frac12\right)^2+(-\sqrt3-\sqrt3)^2}=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{\frac14+12}=\frac72.$$
Теперь найдём углы треугольника по теореме косинусов.
Для угла $$A$$:
$$\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{16+\frac94-\frac{49}{4}}{2\cdot 4\cdot \frac32}=\frac{6}{12}=\frac12,$$
значит, $$\angle A=60^\circ.$$
Для угла $$C$$:
$$\cos C=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{\frac94+\frac{49}{4}-16}{2\cdot \frac32\cdot \frac72}=\frac{-\frac72}{\frac{21}{2}}=-\frac13.$$
Тогда
$$\angle C\approx 109^\circ28′.$$
Осталось найти угол $$B$$:
$$\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-60^\circ-109^\circ28’=10^\circ32′.$$
Ответ: $$\angle A=60^\circ,\; \angle B=10^\circ32′,\; \angle C\approx 109^\circ28′.$$
