Упр.1134 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что ненулевые векторы $$\vec{a}=(x;y)$$ и $$\vec{b}=(-y;x)$$ перпендикулярны.
Диагонали $$A_1A_4$$ и $$A_2A_7$$ правильного десятиугольника $$A_1A_2\ldots A_{10}$$, вписанного в окружность радиуса $$R$$, пересекаются в точке $$B$$. Докажите, что:
а) $$A_2A_7=2R$$;
б) $$\triangle A_1A_2B$$ и $$\triangle BA_4A_7$$ — подобные равнобедренные треугольники;
в) $$A_1A_4\cdot A_1A_2=R$$.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр окружности, описанной около правильного десятиугольника $$A_1A_2\dots A_{10}$$, а $$B=A_1A_4\cap A_2A_7$$.

Доказательство

Рассмотрим центральный угол $$\angle A_2OA_7$$. Так как десятиугольник правильный, то дуга между соседними вершинами равна $$\frac{360^\circ}{10}=36^\circ$$, значит
$$\angle A_2OA_7=5\cdot 36^\circ=180^\circ.$$
Следовательно, точки $$A_2, O, A_7$$ лежат на одной прямой, а отрезок $$A_2A_7$$ — диаметр окружности. Тогда
$$A_2A_7=2R.$$
Так как $$A_2A_7$$ — диаметр, то точка $$O$$ лежит на прямой $$A_2B$$. Кроме того, в правильном десятиугольнике все стороны равны, а все диагонали, стягивающие равные дуги, равны между собой. Поэтому
$$A_1A_2=A_4A_5,$$
а соответствующие центральные углы равны:
$$\angle A_1OA_2=\angle A_4OA_5=36^\circ.$$
Тогда в треугольниках $$\triangle A_1A_2B$$ и $$\triangle A_4A_5O$$ имеем
$$\angle A_1A_2B=\angle A_4A_5O,$$
$$\angle A_2A_1B=\angle A_5A_4O,$$
значит, эти треугольники подобны. Оба они равнобедренные, так как в правильном многоугольнике равны соответствующие стороны.
Из равнобедренности треугольника $$\triangle A_1A_2B$$ получаем
$$A_1A_2=A_1B.$$
Из равнобедренности треугольника $$\triangle BA_4O$$ получаем
$$BA_4=A_4O=R.$$
Так как точки $$A_1, B, A_4$$ лежат на одной прямой, то
$$A_1A_4=A_1B+BA_4.$$
Следовательно,
$$A_1A_4-A_1A_2=BA_4=R.$$