Упр.1130 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Вычислите скалярное произведение векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$, если $$|\vec{a}|=2$$, $$|\vec{b}|=3$$, а угол между ними равен: а) $$45^\circ$$; б) $$90^\circ$$; в) $$135^\circ$$.
2. Задание учебника 2023 года. На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$3\text{ дм}$$, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Пусть сторона правильного треугольника равна $$a_3$$. Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$R_3=3$$ дм, имеем

$$a_3=2R_3\sin 60^\circ.$$

Тогда

$$a_3=2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\text{ дм}.$$

Сторона квадрата равна стороне треугольника, значит

$$a_4=3\sqrt3\text{ дм}.$$

Для квадрата, вписанного в окружность радиуса $$R$$, сторона выражается формулой

$$a_4=2R\sin 45^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2.$$

Следовательно,

$$R\sqrt2=3\sqrt3,$$

$$R=\frac{3\sqrt3}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt6}{2}\text{ дм}.$$

Ответ

$$\frac{3\sqrt6}{2}\text{ дм}.$$