Упр.1125 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Наблюдатель находится на расстоянии $$50\ \text{м}$$ от башни, высоту которой хочет определить (рис. 298). Основание башни он видит под углом $$2^\circ$$ к горизонту, а вершину — под углом $$45^\circ$$ к горизонту. Какова высота башни?
2. На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Пусть $$R_1$$, $$R_2$$ и $$R_3$$ — радиусы полукругов, построенных на сторонах $$AB$$, $$AC$$ и $$CB$$ соответственно. Тогда

$$S_{AB}=\frac{1}{2}\pi R_1^2,\qquad S_{AC}=\frac{1}{2}\pi R_2^2,\qquad S_{CB}=\frac{1}{2}\pi R_3^2.$$

Так как радиус полукруга равен половине диаметра, то

$$R_1=\frac{AB}{2},\qquad R_2=\frac{AC}{2},\qquad R_3=\frac{CB}{2}.$$

Следовательно,

$$S_{AB}=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{AB}{2}\right)^2=\frac{\pi AB^2}{8},$$

$$S_{AC}=\frac{\pi AC^2}{8},\qquad S_{CB}=\frac{\pi CB^2}{8}.$$

Так как $$\triangle ABC$$ прямоугольный, то по теореме Пифагора

$$AB^2=AC^2+CB^2.$$

Умножим это равенство на $$\frac{\pi}{8}$$:

$$\frac{\pi AB^2}{8}=\frac{\pi AC^2}{8}+\frac{\pi CB^2}{8}.$$

То есть

$$S_{AB}=S_{AC}+S_{CB}.$$