Упр.1124 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ = 13см, СЕ = 9 см, ED = 4 см и расстояние между точками В и D равно 4корень3 см. На мишени имеются четыре окружности с общим центром, радиусы которых равны 1, 2, 3 и 4. Найдите площадь наименьшего круга, а также площадь каждого из трёх колец мишени.

Пусть $$AE=x$$, тогда $$EB=13-x$$.

По свойству пересекающихся хорд:

$$AE\cdot EB=CE\cdot ED.$$

Тогда

$$x(13-x)=9\cdot 4,$$

$$x^2-13x+36=0,$$

$$x_1+x_2=13,\quad x_1x_2=36.$$

Отсюда $$x_1=4$$, $$x_2=9$$, значит $$EB=9$$ или $$EB=4$$.

Рассмотрим два случая.

1) $$EB=4.$$ Тогда в треугольнике $$DEB$$ стороны $$DE=4$$ и $$EB=4$$, значит он равнобедренный. По теореме косинусов:

$$BD^2=DE^2+EB^2-2\cdot DE\cdot EB\cos\angle DEB,$$

$$\left(4\sqrt{3}\right)^2=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cos\angle DEB,$$

$$48=32-32\cos\angle DEB,$$

$$\cos\angle DEB=-\frac12.$$

Следовательно, $$\angle DEB=120^\circ.$$

2) $$EB=9.$$ Тогда по теореме косинусов в треугольнике $$DEB$$:

$$BD^2=DE^2+EB^2-2\cdot DE\cdot EB\cos\angle DEB,$$

$$\left(4\sqrt{3}\right)^2=4^2+9^2-2\cdot 4\cdot 9\cos\angle DEB,$$

$$48=16+81-72\cos\angle DEB,$$

$$72\cos\angle DEB=49,$$

$$\cos\angle DEB=\frac{49}{72}.$$

Тогда

$$\angle DEB\approx 47^\circ 7′.$$

Ответ

$$120^\circ$$ или $$47^\circ 7′.$$

Ход решения

Площади кругов с радиусами $$1,2,3,4$$ равны:

$$S_1=\pi\cdot 1^2=\pi,$$

$$S_2=\pi\cdot 2^2=4\pi,$$

$$S_3=\pi\cdot 3^2=9\pi,$$

$$S_4=\pi\cdot 4^2=16\pi.$$

Площади колец:

$$S_{2\text{ кольца}}=S_2-S_1=4\pi-\pi=3\pi,$$

$$S_{3\text{ кольца}}=S_3-S_2=9\pi-4\pi=5\pi,$$

$$S_{4\text{ кольца}}=S_4-S_3=16\pi-9\pi=7\pi.$$

Ответ

$$S_1=\pi,\quad S_{2\text{ кольца}}=3\pi,\quad S_{3\text{ кольца}}=5\pi,\quad S_{4\text{ кольца}}=7\pi.$$