Упр.1123 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции. Из круга радиуса r вырезан квадрат, вписанный в окружность, которая ограничивает круг. Найдите площадь оставшейся части круга.

1) Обозначим меньшее основание трапеции через $$x$$. Тогда боковые стороны тоже равны $$x$$, а большее основание равно $$10$$ см.

Опустим из верхних вершин перпендикуляры на большее основание. Получатся два равных прямоугольных треугольника, в каждом из которых гипотенуза равна $$x$$, а прилежащий к углу $$70^\circ$$ катет равен

$$\frac{10-x}{2}.$$

По определению косинуса:

$$\cos 70^\circ=\frac{(10-x)/2}{x}.$$

Так как $$\cos 70^\circ \approx 0{,}342$$, получаем

$$0{,}342=\frac{10-x}{2x}.$$

Умножим на $$2x$$:

$$0{,}684x=10-x,$$

$$1{,}684x=10,$$

$$x\approx 5{,}94 \approx 6.$$

Тогда периметр трапеции:

$$P=AB+BC+CD+AD=x+x+x+10=3x+10=3\cdot 6+10=28.$$

2) Квадрат вписан в окружность радиуса $$r$$, значит его диагональ равна диаметру окружности:

$$d=2r.$$

Площадь квадрата через диагональ:

$$S_{\square}=\frac{d^2}{2}=\frac{(2r)^2}{2}=2r^2.$$

Площадь круга:

$$S_{\text{круга}}=\pi r^2.$$

Тогда площадь оставшейся части круга равна

$$S=\pi r^2-2r^2=r^2(\pi-2).$$

Ответ

1) $$28$$ см; 2) $$r^2(\pi-2)$$.