Упр.1120 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами и R2, R1

а) Обозначим стороны треугольника так: $$a=5,\; b=c=4.$$ По теореме косинусов для угла $$A$$, лежащего напротив стороны $$a$$, имеем:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

$$25=16+16-2\cdot 4\cdot 4\cos A$$

$$25=32-32\cos A$$

$$32\cos A=7,\qquad \cos A=\frac{7}{32}>0.$$

Значит, $$\angle A<90^\circ$$. Наибольшей стороне соответствует наибольший угол, поэтому треугольник остроугольный.

б) Пусть $$a=17,\; b=8,\; c=15.$$ Тогда:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

$$289=64+225-2\cdot 8\cdot 15\cos A$$

$$289=289-240\cos A$$

$$240\cos A=0,\qquad \cos A=0.$$

Следовательно, $$\angle A=90^\circ$$, значит треугольник прямоугольный.

в) Пусть $$a=9,\; b=5,\; c=6.$$ Тогда:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

$$81=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cos A$$

$$81=61-60\cos A$$

$$60\cos A=-20,\qquad \cos A=-\frac13<0.$$

Значит, $$\angle A>90^\circ$$, и треугольник тупоугольный.

Площадь кольца с радиусами $$R_1$$ и $$R_2$$ равна разности площадей кругов:

$$S=\pi R_2^2-\pi R_1^2=\pi\left(R_2^2-R_1^2\right).$$

При $$R_1=1{,}5\text{ см}$$ и $$R_2=2{,}5\text{ см}$$ получаем:

$$S=\pi\left(2{,}5^2-1{,}5^2\right)=\pi(6{,}25-2{,}25)=4\pi.$$

$$S\approx 3{,}14\cdot 4=12{,}56\text{ см}^2.$$

Ответ

а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный; $$S=12{,}56\text{ см}^2$$.