Упр.1116 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите стороны треугольника ABC, если $$\angle A=45^\circ$$, $$\angle C=30^\circ$$, а высота $$AD$$ равна 3 м.
Найдите площадь круга, описанного около:
а) прямоугольника со сторонами $$a$$ и $$b$$;
б) прямоугольного треугольника с катетом $$a$$ и противолежащим углом $$a$$;
в) равнобедренного треугольника с основанием $$a$$ и высотой $$h$$, проведённой к основанию.

Подробный ответ

а) Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то его диагонали равны и пересекаются в середине. Значит, диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.

Найдём диагональ:

$$BD=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Тогда радиус окружности

$$R=\frac{BD}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$

Площадь круга:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2=\frac{\pi(a^2+b^2)}{4}.$$

б) В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности. Если катет, противолежащий углу $$\alpha$$, равен $$a$$, то

$$\sin \alpha=\frac{a}{AB}, \qquad AB=\frac{a}{\sin \alpha}.$$

Следовательно,

$$R=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2\sin \alpha}.$$

Тогда

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{a}{2\sin \alpha}\right)^2=\frac{\pi a^2}{4\sin^2 \alpha}.$$

в) В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Поэтому половина основания равна $$\frac a2$$.

Обозначим радиус описанной окружности через $$R$$. Тогда центр окружности лежит на высоте, и для отрезка от вершины до центра получаем $$BH=R+h$$, а в прямоугольном треугольнике с катетами $$\frac a2$$ и $$h-R$$:

$$R^2=(h-R)^2+\left(\frac a2\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$R^2=h^2-2hR+R^2+\frac{a^2}{4}.$$

Отсюда

$$2hR=h^2+\frac{a^2}{4},$$

$$R=\frac{4h^2+a^2}{8h}.$$

Тогда площадь круга:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{4h^2+a^2}{8h}\right)^2=\frac{\pi(4h^2+a^2)^2}{64h^2}.$$