Упр.1116 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите стороны треугольника ABC, если угол А=45° угол C = 30°, а высота AD равна 3 м. Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами а и b; б) прямоугольного треугольника с катетом а и противолежащим углом а; в) равнобедренного треугольника с основанием а и высотой h, проведённой к основанию.

Подробный ответ

а) Пусть $ABCD$ — прямоугольник. Тогда его диагональ является диаметром описанной окружности, значит

$$d=AC=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Радиус окружности:

$$R=\frac{d}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$

Тогда площадь описанной окружности равна

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2=\frac{\pi(a^2+b^2)}{4}.$$

б) В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности. Если катет равен $a$, а противолежащий ему угол равен $\alpha$, то

$$\sin \alpha=\frac{a}{AB},$$

откуда

$$AB=\frac{a}{\sin \alpha}.$$

Следовательно,

$$R=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2\sin \alpha}.$$

Тогда

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{a}{2\sin \alpha}\right)^2=\frac{\pi a^2}{4\sin^2 \alpha}.$$

в) В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Обозначим радиус описанной окружности через $R$. Тогда половина основания равна $$\frac{a}{2},$$ а расстояние от центра окружности до основания равно $$R-h.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — радиус $R$, один катет — $R-h$, другой — $\frac{a}{2}$. Получаем:

$$R^2=(R-h)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$R^2=R^2-2Rh+h^2+\frac{a^2}{4},$$

$$2Rh=h^2+\frac{a^2}{4},$$

$$R=\frac{4h^2+a^2}{8h}.$$

Тогда площадь описанной окружности:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{4h^2+a^2}{8h}\right)^2=\frac{\pi(4h^2+a^2)^2}{64h^2}.$$