Упр.1115 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике $$ABC$$ $$AC=12\ \text{cm}$$, угол $$A=75^\circ$$, угол $$C=60^\circ$$. Найдите $$AB$$ и $$S_{ABC}$$.
- Как изменится площадь круга, если его радиус:
а) увеличить в $$k$$ раз;
б) уменьшить в $$k$$ раз?
В треугольнике $$ABC$$ найдём сначала угол $$B$$:
$$\angle B=180^\circ-(\angle A+\angle C)=180^\circ-(75^\circ+60^\circ)=45^\circ.$$
По теореме синусов:
$$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}.$$
Тогда
$$\frac{12}{\sin 45^\circ}=\frac{AB}{\sin 60^\circ},$$
откуда
$$AB=12\cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}=12\cdot \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=12\cdot \frac{\sqrt3}{\sqrt2}=6\sqrt6\ \text{см}.$$
Площадь треугольника найдём по формуле
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot AB\cdot \sin A.$$
Подставим значения:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot 12\cdot 6\sqrt6\cdot \sin 75^\circ.$$
Так как $$\sin 75^\circ\approx 0{,}966,$$ получаем
$$S_{ABC}\approx \frac12\cdot 12\cdot 6\sqrt6\cdot 0{,}966\approx 85{,}2\ \text{см}^2.$$
Ответ: $$AB=6\sqrt6\ \text{см},\quad S_{ABC}\approx 85{,}2\ \text{см}^2.$$
