Упр.1114 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если: а) угол A = 60°, угол B = 40°, с =14; б) угол A = 30°, угол C= 75°, b = 4,5; г) угол B = 45°, угол C = 70°, a = 24,6; e) a = 6,3, b = 6,3, угол C = 54°; з) a = 14, 6 = 18, c = 20; в) угол A = 80°, a =16, b= 10; д) угол A = 60°, a = 10, b = 7; ж) 6 = 32, с = 45, угол A = 87°; и) a= 6, b = 7,3, с = 4,8. Перечертите таблицу и, используя формулу для площади S круга радиуса R, заполните пустые клетки. Воспользуйтесь значением пи = 3,14.

Используем теорему синусов

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

и теорему косинусов

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,$$

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

а) $$\angle C=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin 60^\circ}=\frac{c}{\sin 80^\circ},\qquad a=14\cdot\frac{\sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}\approx 12{,}31.$$

$$\frac{b}{\sin 40^\circ}=\frac{c}{\sin 80^\circ},\qquad b=14\cdot\frac{\sin 40^\circ}{\sin 80^\circ}\approx 9{,}14.$$

б) $$\angle B=180^\circ-30^\circ-75^\circ=75^\circ.$$

Так как $$\angle B=\angle C,$$ то $$b=c=4{,}5.$$

По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin 75^\circ}=\frac{4{,}5}{\sin 30^\circ},\qquad a=4{,}5\cdot\frac{\sin 30^\circ}{\sin 75^\circ}\approx 2{,}33.$$

в) По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B},\qquad \sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{10\sin 80^\circ}{16}\approx 0{,}6155.$$

Отсюда $$\angle B\approx 37^\circ59′.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-80^\circ-37^\circ59’\approx 62^\circ01′.$$

И снова по теореме синусов:

$$c=16\cdot\frac{\sin 62^\circ01′}{\sin 80^\circ}\approx 14{,}35.$$

г) $$\angle A=180^\circ-45^\circ-70^\circ=65^\circ.$$

По теореме синусов:

$$b=24{,}6\cdot\frac{\sin 45^\circ}{\sin 65^\circ}\approx 19{,}19,$$

$$c=24{,}6\cdot\frac{\sin 70^\circ}{\sin 65^\circ}\approx 25{,}51.$$

д) По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B},\qquad \sin B=\frac{b\sin 60^\circ}{a}=\frac{7\sin 60^\circ}{10}\approx 0{,}6062.$$

Следовательно, $$\angle B\approx 37^\circ19′.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-60^\circ-37^\circ19’\approx 82^\circ41′.$$

И

$$c=10\cdot\frac{\sin 82^\circ41′}{\sin 60^\circ}\approx 11{,}45.$$

е) Так как $$a=b,$$ то треугольник равнобедренный, значит

$$\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-54^\circ}{2}=63^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos 54^\circ,$$

$$c^2=6{,}3^2+6{,}3^2-2\cdot 6{,}3\cdot 6{,}3\cos 54^\circ\approx 32{,}72,$$

откуда $$c\approx 5{,}72.$$

ж) По теореме косинусов:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$

$$a^2=32^2+45^2-2\cdot 32\cdot 45\cos 87^\circ\approx 2898{,}38,$$

значит $$a\approx 53{,}84.$$

По теореме синусов:

$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{32\sin 87^\circ}{53{,}84}\approx 0{,}5935,$$

откуда $$\angle B\approx 36^\circ24′.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-87^\circ-36^\circ24’\approx 56^\circ36′.$$

з) По теореме косинусов:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,$$

$$20^2=14^2+18^2-2\cdot 14\cdot 18\cos C,$$

$$400=196+324-504\cos C,$$

$$504\cos C=120,$$

$$\cos C\approx 0{,}2381,\qquad \angle C\approx 76^\circ13′.$$

Далее:

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,$$

$$18^2=14^2+20^2-2\cdot 14\cdot 20\cos B,$$

$$324=196+400-560\cos B,$$

$$560\cos B=272,$$

$$\cos B\approx 0{,}4857,\qquad \angle B\approx 60^\circ57′.$$

Тогда

$$\angle A=180^\circ-76^\circ13′-60^\circ57’\approx 42^\circ50′.$$

и) По теореме косинусов:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,$$

$$4{,}8^2=6^2+7{,}3^2-2\cdot 6\cdot 7{,}3\cos C,$$

$$23{,}04=36+53{,}29-87{,}6\cos C,$$

$$87{,}6\cos C=66{,}25,$$

$$\cos C\approx 0{,}7563,\qquad \angle C\approx 40^\circ52′.$$

Далее:

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,$$

$$7{,}3^2=6^2+4{,}8^2-2\cdot 6\cdot 4{,}8\cos B,$$

$$53{,}29=36+23{,}04-57{,}6\cos B,$$

$$57{,}6\cos B=5{,}75,$$

$$\cos B\approx 0{,}0998,\qquad \angle B\approx 84^\circ16′.$$

Тогда

$$\angle A=180^\circ-84^\circ16′-40^\circ52’\approx 54^\circ52′.$$

Для таблицы используем формулу площади круга:

$$S=\pi R^2,\qquad R=\sqrt{\frac{S}{\pi}},\qquad \pi=3{,}14.$$

Тогда получаем:

$$S=3{,}14\cdot 2^2=12{,}56,$$

$$S=3{,}14\cdot 5^2=78{,}5,$$

$$R=\sqrt{\frac{9}{3{,}14}}\approx 1{,}69,$$

$$S=3{,}14\cdot \left(\frac{2}{7}\right)^2\approx 0{,}26,$$

$$R=\sqrt{\frac{49\pi}{\pi}}=7,$$

$$S=3{,}14\cdot 54{,}3^2=9258{,}26,$$

$$S=3{,}14\cdot (\sqrt{3})^2=9{,}42,$$

$$R=\sqrt{\frac{6{,}25}{3{,}14}}\approx 1{,}41.$$

Ответ

а) $$\angle C=80^\circ,\ a\approx 12{,}31,\ b\approx 9{,}14.$$

б) $$\angle B=75^\circ,\ a\approx 2{,}33,\ c=4{,}5.$$

в) $$\angle B\approx 37^\circ59′,\ \angle C\approx 62^\circ01′,\ c\approx 14{,}35.$$

г) $$\angle A=65^\circ,\ b\approx 19{,}19,\ c\approx 25{,}51.$$

д) $$\angle B\approx 37^\circ19′,\ \angle C\approx 82^\circ41′,\ c\approx 11{,}45.$$

е) $$\angle A=\angle B=63^\circ,\ c\approx 5{,}72.$$

ж) $$a\approx 53{,}84,\ \angle B\approx 36^\circ24′,\ \angle C\approx 56^\circ36′.$$

з) $$\angle A\approx 42^\circ50′,\ \angle B\approx 60^\circ57′,\ \angle C\approx 76^\circ13′.$$

и) $$\angle A\approx 54^\circ52′,\ \angle B\approx 84^\circ16′,\ \angle C\approx 40^\circ52′.$$

Таблица: $$12{,}56;\ 78{,}5;\ 1{,}69;\ 0{,}26;\ 7;\ 9258{,}26;\ 9{,}42;\ 1{,}41.$$