Упр.1113 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если:
   а) угол $$A=\alpha$$, а высоты, проведённые из вершин $$B$$ и $$C$$, соответственно равны $$h_b$$ и $$h_c$$;
   б) угол $$A=\alpha$$, угол $$B=\beta$$, а высота, проведённая из вершины $$B$$, равна $$h$$.
2. Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен $$5\ \text{км}$$, а длина дуги закругления — $$400\ \text{м}$$. Какова градусная мера дуги закругления?

а) Проведём высоты $$BB_1$$ и $$CC_1$$ к стороне $$AC$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABB_1$$

$$\sin \alpha=\frac{BB_1}{AB}=\frac{h_b}{AB},$$

откуда

$$AB=\frac{h_b}{\sin \alpha}.$$

Аналогично, из прямоугольного треугольника $$ACC_1$$ получаем

$$\sin \alpha=\frac{CC_1}{AC}=\frac{h_c}{AC},$$

значит

$$AC=\frac{h_c}{\sin \alpha}.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \alpha.$$

Подставим найденные выражения:

$$S_{ABC}=\frac12 \cdot \frac{h_b}{\sin \alpha}\cdot \frac{h_c}{\sin \alpha}\cdot \sin \alpha =\frac{h_bh_c}{2\sin \alpha}.$$

б) Пусть $$BB_1=h$$ — высота, проведённая из вершины $$B$$. В прямоугольном треугольнике $$ABB_1$$

$$\sin \alpha=\frac{BB_1}{AB}=\frac{h}{AB},$$

откуда

$$AB=\frac{h}{\sin \alpha}.$$

В треугольнике $$BB_1C$$ угол при вершине $$B$$ равен $$\beta$$, а угол при вершине $$C$$ равен $$180^\circ-(\alpha+\beta)$$. Поэтому

$$\sin \angle C=\sin\bigl(180^\circ-(\alpha+\beta)\bigr)=\sin(\alpha+\beta),$$

и тогда

$$\sin \angle C=\frac{BB_1}{BC}=\frac{h}{BC},$$

значит

$$BC=\frac{h}{\sin(\alpha+\beta)}.$$

Теперь найдём площадь:

$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \beta =\frac12 \cdot \frac{h}{\sin \alpha}\cdot \frac{h}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot \sin \beta.$$

Следовательно,

$$S_{ABC}=\frac{h^2\sin \beta}{2\sin \alpha\sin(\alpha+\beta)}.$$

Для задачи о железнодорожном пути длина дуги равна $$l=400\text{ м}=0{,}4\text{ км}$$. Используем формулу длины дуги:

$$l=\frac{2\pi R}{360^\circ}\cdot \alpha.$$

Тогда

$$\alpha=\frac{l\cdot 360^\circ}{2\pi R} =\frac{l\cdot 180^\circ}{\pi R} =\frac{0{,}4\cdot 180^\circ}{3{,}14\cdot 5} \approx 4^\circ 35′.$$

Ответ: а) $$\frac{h_bh_c}{2\sin \alpha}$$; б) $$\frac{h^2\sin \beta}{2\sin \alpha\sin(\alpha+\beta)}$$; для дуги $$4^\circ 35’$$.