Упр.1112 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна $$10\ \text{см}$$, а угол между диагоналями равен $$30^\circ$$.
2. Найдите длину маятника стенных часов, если угол его колебания составляет $$38^\circ$$, а длина дуги, которую описывает конец маятника, равна $$24\ \text{см}$$.

Пусть диагонали прямоугольника пересекаются в точке $$O$$. Тогда они делятся пополам, значит

$$AO=BO=CO=DO=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$

Диагонали прямоугольника делят его на четыре равных по площади треугольника. Найдём площадь одного из них:

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot BO\cdot \sin\angle AOB.$$

Так как угол между диагоналями равен $$30^\circ$$, то

$$\angle AOB=30^\circ,\qquad \sin 30^\circ=\frac12.$$

Тогда

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5\cdot \frac12=\frac{25}{4}\text{ см}^2.$$

Площадь прямоугольника в 4 раза больше:

$$S_{ABCD}=4\cdot \frac{25}{4}=25\text{ см}^2.$$

Ответ: $$25\text{ см}^2$$.