Упр.1109 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите площадь треугольника ABC, если: а) АВ = 6корень8 см, АС = 4 см, угол A = 60°; б) ВС = 3см, АВ — 18корень2 см, угол B = 45°; в) АС = 14 см, СВ = 7 см, угол C = 48°. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градусная мера равна: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°.

Площадь треугольника найдём по формуле

$$S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma,$$

где $$a$$ и $$b$$ — стороны, заключающие угол $$\gamma$$.

а) Для сторон $$AB$$ и $$AC$$ угол между ними равен $$\angle A$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin\angle A.$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{8}\cdot 4\cdot \sin 60^\circ.$$

Так как $$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$, получаем:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\sqrt{2}\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{6}\ \text{см}^2.$$

б) Для сторон $$BC$$ и $$AB$$ угол между ними равен $$\angle B$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AB\cdot \sin\angle B.$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 18\sqrt{2}\cdot \sin 45^\circ.$$

Так как $$\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$$, то

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 18\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=27\ \text{см}^2.$$

в) Для сторон $$AC$$ и $$BC$$ угол между ними равен $$\angle C$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot \sin\angle C.$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 7\cdot \sin 48^\circ=49\sin 48^\circ.$$

$$49\sin 48^\circ \approx 49\cdot 0{,}743 \approx 36{,}41\ \text{см}^2.$$

Длина дуги окружности радиуса $$R$$ с градусной мерой $$\alpha$$ находится по формуле

$$l=\frac{2\pi R}{360^\circ}\cdot \alpha=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot \alpha.$$

а) $$R=6$$ см, $$\alpha=30^\circ$$:

$$l=\frac{\pi\cdot 6}{180^\circ}\cdot 30^\circ=\pi\ \text{см}.$$

б) $$\alpha=45^\circ$$:

$$l=\frac{\pi\cdot 6}{180^\circ}\cdot 45^\circ=\frac{3\pi}{2}\ \text{см}.$$

в) $$\alpha=60^\circ$$:

$$l=\frac{\pi\cdot 6}{180^\circ}\cdot 60^\circ=2\pi\ \text{см}.$$

г) $$\alpha=90^\circ$$:

$$l=\frac{\pi\cdot 6}{180^\circ}\cdot 90^\circ=3\pi\ \text{см}.$$

Ответ

$$S_{ABC}:$$ а) $$12\sqrt{6}\ \text{см}^2$$; б) $$27\ \text{см}^2$$; в) $$36{,}41\ \text{см}^2$$.

$$l:$$ а) $$\pi\ \text{см}$$; б) $$\frac{3\pi}{2}\ \text{см}$$; в) $$2\pi\ \text{см}$$; г) $$3\pi\ \text{см}$$.